Řešení

Obarvený pětiúhelník

V konvexním pětiúhelníku obarvíme každou stranu a každou úhlopříčku buď červeně nebo modře tak, že aby žádný z trojúhelníků tvořených těmito úsečkami nebyl jednobarvený, např. takto:

Vidíme, že z každého vrcholu pětiúhelníku vycházejí právě dvě úsečky stejné barvy. Dokažte, že to není náhoda, že tomu tak bude za daných podmínek vždy.
Tato úloha byla zařazena do přípravného kola 30. ročníku Matematické olympiády v kategorii C pro studenty středních škol.

Řešení

Rozklad čtverce

Ve čtverci o straně délky $1$ jsou z každého vrcholu vepsány čtvrtkružnice o poloměru $1$. Čtverec je tím rozdělen na $9$ částí.

Vypočtěte velikosti obsahů těchto částí.
Tato úloha byla zařazena do přípravného kola 30. ročníku Matematické olympiády v kategorii C pro studenty středních škol.

Řešení

Prvočíslo a mocnina

Hledá se takové prvočíslo, že číslo o 4 větší je druhou mocninou nějakého celého čísla.

Řešení

Paradoxní skládačka potřetí

Tohle je další varianta zdánlivě paradoxního rozkladu a složení obrazce. Obdélník vlevo obsahuje $8\cdot13=104$ čtverečků.

Poté, co jsme ho rozřízli na čtyři části podle naznačených čar a opět složili tak jako na pravém obrázku, dostali jsme obdélník o obsahu $5\cdot21=105$ čtverečků. Pokud jste si poradili s dřívějšími úlohami paradoxniskladacka.html a paradoxniskladacka2.html, pak pro vás nebude problém zjistit, v čem spočívá trik. Asi si pak také všimnete, že rozměry obdélníků a trojúhelníků opět tvoří po sobě jdoucí členy Fibonacciho posloupnosti: $2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21$ (viz komentář v řešení úlohy paradoxniskladacka2.html).

Řešení

Kdo je vrah?

Policejní komisař zatkl tři podezřelé z vraždy, Adamse, Browna a Clarka. Ze složitého vyšetřování vyplynuly dva poněkud zvláštní poznatky:

1. Pokud Adams není vrahem nebo Brown je vrahem, pak je vrahem Clark.
2. Pokud Adams není vrahem, pak Clark není vrahem.

Mohl na základě toho komisař někoho obvinit a pokud ano, koho?

Řešení

Spěšná zásilka

Nemocnice urgentně potřebuje zásilku speciálních léků, která je k dispozici jen v hlavním městě. Léky byly odeslány letadlem na nejbližší letiště. Z nemocnince byla pro léky vyslána sanitka tak, aby na letiště dorazila právě k předpokládanému příletu letadla. Zásilku se však podařilo poslat dřívějším letem a aby byla doručena do nemocnince co nejdříve, převzala ji policie a ihned s ní vyrazila naproti sanitce. Po půlhodině se setkala se sanitkou, zásilku léků předala a sanitka ihned vyrazila zpět do nemocnice. Tak se stalo, že léky byly doručeny do nemocnice o dvacet minut dříve proti předpokladu. O kolik minut dříve přistálo letadlo s léky než to, které je mělo původně dopravit?

Řešení

Rychlý odhad

Podívejte se na následující dva sloupce čísel a rychle bez pracného počítání rozhodněte, který sloupec dá větší součet.

123456789		1
123456780		21
123456700		321
123456000		4321
123450000		54321
123400000		654321
123000000		7654321
120000000		87654321
100000000		987654321

Řešení

Trojúhelník s nejmenším obvodem

Je dán ostroúhlý trojúhelník $ABC$ a uvnitř jeho strany $AB$ bod $K$. Najděte uvnitř strany $BC$ bod $L$ a uvnitř strany $AC$ bod $M$ tak, aby obvod trojúhelníku $KLM$ byl minimální.

Tato úloha byla zařazena do přípravného kola 30. ročníku Matematické olympiády v kategorii C pro studenty středních škol.

Řešení

Tři početní hlavolamy se zápalkami

Obrazce sestavené ze zápalek znázorňují tři zjevně neplatné rovnosti. Úkolem je obrazce upravit tak, aby rovnosti platily. Vlevo k tomu stačí přesunout jednu zápalku, uprostřed a vpravo stačí přesunout vždy dvě zápalky.

Řešení

Číslování hran krychle

Už jsme tu zkoušeli očíslovat hrany čtyřstěnu, teď můžeme zkusit očíslovat stěny krychle čísly 1, 2, 3, 4, 5, 6 tak, aby součet tří čísel, kterými jsou očíslovány stěny se společným vrcholem, byl pro všechny vrcholy stejný. Rovnou napovíme, že to nejde. Jak to dokázat?
Úloha byla zařazena do 2. kola 30. ročníku Matematické olympiády v kategorii Z pro žáky základních škol.

Řešení

Která ze třinácti mincí je falešná?

Už jsme tu řešili několik úloh na hledání falešných mincí, např. tuto. Přestože tam byl počet mincí větší, úloha byla významně snazší, protože jsme navíc věděli, že hledáme minci, která lehčí než ostatní. Falešné mince však mohou být i trochu těžší než ty pravé. V této úloze jde o to třemi váženími na dvojramenných vahách najít mezi 13 mincemi jednu, která se od ostatních nepatrně liší svou hmotností. Mincí je tedy méně, ale chybí informace, zda je falešná mince lehčí nebo těžší.

Řešení

Které číslo jsme násobili?

Trojciferné jsme vynásobili číslem $36$. Výsledek končí trojčíslím $324$. Jaké číslo jsme násobili?

Řešení

Barevné tětivy

Na kružnici zvolíme 6 různých bodů a každé dva spojíme modrou nebo červenou úsečkou tak, že vznikne právě jeden červený a právě jeden modrý trojúhelník. Např. takto: Dokažte, že červených úseček je vždy 7, nebo 8.

Řešení

Koule a krychle trochu jinak

Je dána krychle $ABCDEFGH$ o hraně délky $a$. Určete střed a délku poloměru $r$ kulové plochy, která protíná stěnu $BCG$ v kružnici $k$ vepsané čtverci $BCGF$ a prochází bodem $A$. Tato úloha byla zařazena do prvního kola 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii C pro studenty středních škol.

Řešení

Úlohy z minulých týdnů

Číslování hran čtyřstěnu

Chcete-li se někoho na delší dobu zbavit, dejte mu za úkol očíslovat hrany pravidelného čtyřstěnu čísly 1, 2, 3, 4, 5, 6 tak, aby součet tří čísel, kterými jsou očíslovány hrany téže stěny, byl pro všechny stěny stejný. Možná ho po několika marných pokusech napadne, že to nejde. Jak to však dokázat?
Úloha byla zařazena do 1. kola 30. ročníku Matematické olympiády v kategorii Z pro žáky základních škol.

Řešení

Posloupnost čísel se zajímavou vlastností

Je dáno přirozené číslo $n$ a hledá se $2n+1$ po sobě jdoucích přirozených čísel s touto vlastností: součet druhých mocnin prvních $n+1$ čísel se rovná součtu druhých mocnin posledních $n$ čísel. Vypadá to složité? Ve skutečnosti k tomu nepotřebujete znát o moc víc než řešení kvadratické rovnice. Kdyby se někomu úloha s obecným $n$ zdála příliš složitá, může to zkusit pro konkrétní $n$, např. pro $n=10$, ale lepší je využít krásu a sílu matematiky a provést to najednou pro každé přirozené číslo $n$.
Úloha byla zařazena do školní části 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii A pro studenty středních škol.

Řešení

Mnohoúhelník složený z trojúhelníků

Rozdělit jakýkoli konvexní mnohoúhelník na trojúhelníky je velmi jednoduché. Budeme-li však chtít, aby všechny takto vzniklé trojúhelníky byly podobné, u každého kovexního mnohoúhelníku se nám to zřejmě nepodaří. Trochu to tedy zjednodušíme. Zkuste najít největší přirozené číslo $n$ takové, že existuje konvexní $n$-úhelník, který lze rozložit na pravoúhlé trojúhelníky s dvěma vnitřními úhly velikostí $30^\circ$ a $60^\circ$. (Trojúhelníky samozřejmě nemusejí být stejně velké.)
Úloha byla zařazena do prvního kola 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii A pro studenty středních škol.

Řešení

Jednoduchá hra pro samotáře

Na stole je pět žetonů. Tři jsou červené, dva modré a jsou srovnány v řadě vedle sebe tak, že se jejich barvy střídají: červený, modrý, červený, modrý, červený. Tah ve hře spočívá v tom, že některou dvojici sousedících žetonů přemístíme na jiné místo tak, že se přitom jejich vzájemná pozice nezmění (zůstanou těsně vedle sebe a ten, který byl vlevo, zůstane vlevo). Cílem hry je dosáhnout toho, aby po několika takových tazích bylo všech pět žetonů opět v řadě vedle sebe, přičemž nejprve jsou tři červené a za nimi dva modré. Na obrázku je výchozí a cílový stav: Jak to provést? Kolik tahů stačí?

Řešení

Kde je princezna?

Honza se zase jednou přišel ucházet o princeznu. Princezně se Honza líbí, ale král chce zjistit, jestli to není hloupý Honza. Přivede Honzu před troje dveře do tří komnat a řekne mu, že musí přijít na to, ve které komnatě je princezna. Na prvních dveřích je nápis "princezna není ve druhé komnatě", na druhých je nápis "princezna není v této komnatě" a na třetích dveřích je nápis "princezna je v této komnatě". Král Honzoví vysvětlí, že aspoň jeden z nápisů je pravdivý a aspoň jeden z nápisů je nepravdivý. Za kterými dveřmi je princezna?

Řešení

Koule a krychle

Je dána krychle $ABCDEFGH$ o hraně délky $a$. Určete střed a délku poloměru $r$ kulové plochy, která protíná stěnu $BCG$ v kružnici $k$ vepsané čtverci $BCGF$ a prochází středem $P$ strany $AB$. Tato úloha byla zařazena do prvního kola 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii C pro studenty středních škol.

Řešení

Je to druhá mocnina?

Vytvoříme číslo $n$ tak, že postupně za sebou napíšeme prvních $400$ přirozených čísel: $n=12345\dots398399400$. Zjistěte, zda $n$ je druhou mocninou nějakého přirozeného čísla.

Řešení

Která autíčka jsou nejrychlejší?

V kroužku modelářů mají závodní dráhu, na které může současně závodit 5 autíček. V depu kroužku je 25 autíček. Každé z nichž jezdí jinou, vždy však stejnou rychlostí. Kolik závodů musejí modeláři uspořádat, aby zjistili, která tři autíčka jsou nejrychlejší?

Řešení

Čtyřúhelník v kruhu

Konvexní čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici a jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé, má zajímavou vlastnost: Součet druhých mocnin délek jeho dvou protějších stran se rovná druhé mocnině průměru kružnice opsané. Víte proč?
Tato úloha byla zařazena do druhého kola 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii B pro studenty středních škol.

Řešení

Šest čísel

Čtyři přímky na obrázku se protínají v šesti průsečících.

Je možné k průsečíkům připsat šest navzájem různých přirozených čísel $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ tak, aby součty trojic čísel na přímkách byly stejné?

Řešení

Která ze sedmadvaceti mincí je falešná?

Máme dvojramenné váhy a 27 na pohled stejných mincí. Všechny až na jednu mají stejnou hmotnost, jedna je nepatrně lehčí. Úkolem je trojím vážením najít tuto falešnou minci.

Řešení

Je každý trojúhelník rovnoramenný?

Péťa, kterého baví objevovat matematiku, se zase jednou ukvapil (viz úlohu Kružnice se dvěma středy) a přišel s důkazem, že každý trojúhelník je rovnoramenný. Nakreslil následující obrázek

a provedl následující úvahu: V trojúhelníku $ABC$ sestrojíme osu strany $AB$ a osu úhlu při vrcholu $C$. Jejich průsečík označíme $P$. Z bodu $P$ spustíme kolmice k přímkám $BC$ a $AC$. Protože bod $P$ leží na ose úhlu $BCA$, má stejnou vzdálenost od přímek $AC$, $BC$, tj. $|PL|=|PM|$, a úhly $LCP$, $PCM$ jsou shodné, takže také $|LC|=|MC|$. Protože bod $P$ leží na ose strany $AB$, má stejnou vzdálenost od bodů $A$, $B$, tj. $|PA|=|PB|$, a tedy také $|LB|=|MA|$. Dostáváme $|AC|=|AM|+|MC|=|LC|+|BL|=|BC|$, takže trojúhelník $ABC$ musí být rovnoramenný. Kde udělal Péťa chybu?

Řešení

Archiv úloh z předchozích týdnů

Ještě jeden trik s čísly

Zvolte si libovolné trojciferné číslo a zapište ho čtyřikrát za sebou. Vzniklé dvanáctimístné číslo je dělitelné čtyřcifernými čísly $1001$, $1111$, $1313$, $7777$, $9191$ a $9901$. Umíte to vysvětlit?

Řešení

Číslování v trojúhelníkové síti

Je dán trojúhelník, jehož vrcholy jsou označeny čísly 1, 2, 3. Tento základní trojúhelník je rozdělen na konečný počet menších trojúhelníků tak, že každé dva z nich mají společný nejvýše jeden vrchol nebo jednu celou stranu. Každý z vrcholů menších trojúhelníků je označen jedním z čísel 1, 2, 3 tak, že na žádné straně základního trojúhelníku se nevyskytuje číslo jeho protějšího (tj. žádný z vrcholů menších trojúhelníků ležících na straně 12 základního trojúhelníku není označen číslem 3 atd.). Dokažte, že alespoň jeden z menších trojúhelníků má vrcholy označeny třemi různými čísly 1, 2, 3.

Řešení

Středy tří kružnic

Tři kružnice $k_1$, $k_2$, $k_3$ se středy v bodech $S_1$, $S_2$, $S_3$ se vzájemně dotýkají tak, jak je znázorněno na obrázku.

Dokážete určit velikost obvodu trojúhelníku $S_1S_2S_3$, znáte-li pouze poloměr $r_1$ kružnice $k_1$?

Řešení

Která z devíti mincí je falešná?

Máme dvojramenné váhy a devět na pohled stejných mincí. Osm z nich má stejnou hmotnost, devátá mince je falešná, je nepatrně lehčí. Úkolem je pouhým dvojím vážením určit, která mince je falešná.

Řešení

Schůzka

Petr s Lucií si domluvili schůzku. Vědí, že oba jsou nedochvilní a současně netrpěliví, a proto se dohodli, že se sejdou v rozmezí od 18:00 do 19:00 hodin, ale nikdo nebude na druhého čekat déle než 10 minut. Jak velká je pravděpodobnost, že se opravdu setkají, pokud se oba dostaví na schůzku v daném rozmezí 18:00–19:00 hodin?

Řešení

Pythagorova věta

Pythagorova věta je matematické tvrzení, které zná (nebo o něm alespoň slyšel) snad každý, kdo prošel základním vzděláním: obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami. Existuje celá řada důkazů, viz např. tento obrázek:

Jiný důkaz pochází od neméně slavného řeckého matematika Eukleida.

Výše uvedená formulace Pythagorovy věty však neříká nic o tom, že tato věta platí pouze pro pravoúhlé trojúhelníky. Umíte to dokázat?

Řešení

Hledá se prvočíslo

Pro které prvočíslo $p$ je $2p+1$ třetí mocninou nějakého přirozeného čísla?

Řešení

Poutník

Poutník vyšel v 6:00 z hostince při úpatí hory a po stezce vinoucí se kolem hory vzhůru stoupal celý den na vrchol. Strávil noc v bivaku, ráno se pokochal pohledem na vycházející slunce, v 6:00 vyrazil stejnou cestou zpět a vrátil se do hostince na večeři. V obou směrech samozřejmě postupoval různou a nepravidelnou rychostí, zastavoval se na odpočinek. Přesto je jisté, že na cestě existuje místo, ve kterém se poutník nacházel v obou dnech ve stejném čase. Umíte to vysvětlit?

Řešení

Kružnice se dvěma středy

Péťu matematika baví, ale občas se ukvapí. Onehdá se přihlásil s objevem, že kružnice může mít dva různé středy. Nakreslil následující obrázek

a vysvětlil, jak na to přišel: Narýsujeme úhel $PQR$ a na jeho ramenech zvolíme body $A$ a $B$. Z bodu $A$ vedeme kolmici k přímce $QP$ a z bodu $B$ vedeme kolmici k přímce $QR$. Průsečík obou kolmic označíme $C$. Sestrojíme kružnici $k$ procházející body $A$, $B$ a $C$ a další průsečíky kružnice $k$ s přímkami $QP$, $QR$ označíme $K$, $L$. Podle Thaletovy věty přepony pravoúhlých trojúhelníků $KCA$ a $LCB$ musí být průměry kružnice $k$. Středy úseček $KC$ a $LC$ jsou tedy středy kružnice $k$. Kde udělal Péťa chybu?

Řešení

Co je výhodnější?

Pan Novák vyjednává se zaměstnavatelem o své mzdě. Dostal dvě nabídky: mzda bude zvyšována buď po každém roce tak, že celková mzda vyplacená za celý rok vzroste o 10 000 Kč, nebo po každém pololetí tak, že celková mzda vyplacená za příslušné pololetí vzroste o 2 500 Kč. Kterou nabídku by si měl vybrat?

Řešení

Podivný rozsudek

V pondělí odpoledne skončil proces s nebezpečným zločincem vynesením rozsudku: "Obžalovaný se odsuzuje k trestu smrti oběšením. Rozsudek musí být vykonán v pravé poledne některého dne v tomto týdnu za podmínky, že o tom, kterého dne bude rozsudek vykonán, obžalovaný nesmí vědět dříve než v ten samý den ráno." Obžalovaný, který byl připraven na nejhorší, po vynesení rozsudku neskrýval svou spokojenost. Přijdete na to proč?

Řešení

Kam postavit trafiku?

Tři ulice se protínají po dvou tak, že tvoří náměstí tvaru rovnostranného trojúhelníku. Trafikant by chtěl postavit svou trafiku na náměstí a domnívá se, že nejlepší poloha bude taková, aby součet vzdáleností trafiky od všech tří ulic byl nejmenší. Kam má svou trafiku umístit?

Řešení

Jednoduchá hra

Hrací plán tvoří pravidelný desetiúhelník s poli ve vrcholech očíslovanými od 0 do 9 ve směru pohybu hodinových ručiček. Na začátku hry se na pole 0 položí kámen.

Hru hrají dva hráči. Tah spočívá v tom, že hráč posune kámen podle vlastní volby o 3, 4, nebo 5 polí ve směru pohybu hodinových ručiček. Hráči se v tazích pravidelně střídají. Vítězí hráč, který kámen dostane opět na pole 0. Jakou strategii má začínající hráč zvolit, aby vždy vyhrál ve svém druhém nebo třetím tahu?

Řešení

Patnáct časopisů na stole

Matematik zašel s přítelkyní do kavárny. Posadili se k jedinému volnému stolku, který však byl zcela pokrytý časopisy. Přítelkyně svého partnera již dobře znala, a tak ji nepřekvapilo, když poznamenal: "Těch časopisů je patnáct. Sedm z nich bychom mohli odstranit a zbývajících osm by stále ještě pokrývalo nejméně osm patnáctin desky stolku." Měl pravdu?

Řešení

Dvě kružnice vepsané do lichoběžníku

Do lichoběžníku $ABCD$, který má tu vlastnost, že součet délek základen $a$, $c$ je větší než součet délek ramen $b$, $d$, jsou vepsány dvě kružnice $k_1$, $k_2$.

Dokažte, že se kružnice vzájemně dotýkají, jestliže pro výšku lichoběžníku platí $h={1\over2}(a+c-b-d)$.

Řešení

Třetí mocnina končící na 2021

Která přirozená čísla mají tu vlastnost, že jejich třetí mocnina končí na 2021?

Řešení

Sedmnáctiúhelník a tři barvy

V pravidelném sedmnáctiúhelníku je každá dvojice jeho vrcholů spojena úsečkou. Každá úsečka má modrou, červenou, nebo zelenou barvu. Existuje trojice vrcholů, které jsou spojeny úsečkami stejné barvy?

Řešení

Čtyři kružnice v trojúhelníku

Je dán obecný trojúhelník $ABC$. K jemu vepsané kružnici jsou vedeny tři tečny rovnoběžné se stranami trojúhelníku. Tečny v trojúhelníku vytínají tři menší trojúhelníky, do nichž jsou opět vepsány kružnice.

Úkolem je vyjádřit součet obsahů všech čtyř kruhů ohraničených těmito kružnicemi pomocí délek stran $a$, $b$, $c$ trojúhelníku $ABC$.

Řešení

Podivní příbuzní

Navštívili nás dva příbuzní, dospělý s dítětem. To dítě bylo synem dospělého, ale dospělý nebyl jeho otcem. Jak je to možné?

Řešení

Další kouzla s čísly

Zvolte si libovolné trojciferné číslo a zapište ho dvakrát za sebou. Ověřte, že vzniklé šestimístné číslo je dělitelné jedenácti. Pak zkuste totéž s dvojciferným, čtyřciferným, pěticiferným, šesticiferným číslem. Která z výsledných čtyřciferných, osmiciferných, deseticiferných, dvanácticiferných čísel budou dělitelná jedenácti? Je v tom náhoda nebo nějaká zákonitost?

Řešení

Krychle a koule

Uvnitř krychle o hraně délky $a$ určete všechny středy kulových ploch, které se dotýkají jejích tří sousedních stěn se společným vrcholem a tří sousedních hran, které v těchto stěnách neleží.

Řešení

Číslování dveří

Budova, ve které je sto dveří, se renovuje. Lakýrník má za úkol natřít všechny dveře a označit je všechny čísly od 1 do 100. Pro každou číslici má šablonu. Kolikrát použije šablonu, jejíž pomocí se maluje číslice 9?

Řešení

Šikmá věž z cihel

Pro účel této úlohy si představme, že máme sadu cihel přesně stejné velikosti, hmotnosti a rovnoměrné hustoty. Položíme-li jednu cihlu na druhou, je jasné, jak daleko můžeme tu horní vysunout přes okraj té spodní, aniž by se překlopila a spadla: do poloviny. Těžiště horní cihly je pak přesně na hraně té spodní a nepřeklopí se.

Trochu složitější je to se třemi cihlami. Je jasné, že v předchozí situaci už třetí cihlu před druhou předsunout nemůžeme; narušili bychom rovnováhu a obě by se překlopily. Musíme začít od začátku, či vlastně od konce. Třetí cihlu opět položíme tak, aby přečnívala přes druhou cihlu přesně jednou polovinou délky. Snadno zjistíme, že těžiště soustavy těchto dvou cihel je ve vzdálenosti $1\over2$ od přední hrany druhé cihly (pro zjednodušení uvažujeme cihly délky $2$, a protože cihly mají stejnou velikost, hmotnost a rovnoměrnou hustotu, můžeme velikost tíhové síly, kterou působí cihla, považovat rovněž za jednotkovou): hmotnost soustavy druhé a třetí cihly před těžištěm je $x+1+x$ a za těžištěm $2-x+1-x$. Musí tedy platit $x+1+x=2-x+1-x$, tj. $x={1\over2}$.

Můžeme tedy vysunout druhou a třetí cihlu společně přes okraj první cihly o $1\over2$, aniž by se celá věž zřítila. Přední okraj věže přečnívá hranu spodní cihly o $1+{1\over2}={3\over2}$. Představme si, že máme k dispozici libovolný počet takových cihel. Jak až daleko může přední okraj takové šikmé věže přečnívat přes spodní cihlu, aniž by se zřítila?

Řešení

Dva trojúhelníky

Je dán obecný trojúhelník $ABC$. Na jeho stranách zvolíme body $K$, $L$, $M$ tak, že $|AK|={1\over7}|AB|$, $|BL|={1\over7}|BC|$, $|CM|={1\over7}|CA|$. V jakém poměru jsou obsahy trojúhelníků $KLM$ a $ABC$?

Řešení

Vyšetřování loupeže

Zlatník Crook oznámil, že mu někdo z obchodu ukradl náhrdelník s diamanty. Inspektor Smart na základě jeho výpovědi vyslechl tři podezřelé, kteří jako jediní v den krádeže zlatnictví navštívili, a zjistil následující skutečnosti:

Řešení

Kouzelný čtverec

Ukážeme další kouzelnický trik, za kterým se skrývá jednoduchá matematika. Jardových slavil třicáté narozeniny. Protože o něm bylo známo, že se rád baví matematickými hádankami, jeden z hostů si vyžádal list papíru, nakreslil na něj následující čtvercovou mřížku a vyplnil ji čísly:

Předal mřížku Jardovi, otočil se k němu zády, aby na mřížku neviděl, a požádal ho, aby podtrhl jedno z čísel a vyškrtl všechna další čísla, která jsou ve stejném řádku a ve stejném sloupci – viz další obrázek vlevo, kde je vybráno číslo $7$ ve druhém řádku a druhém sloupci. V dalším kroku měl Jarda vybrat některé z čísel, které není podtrženo ani přeškrtnuto, podtrhnout je a opět vyškrtnout všechna další čísla, která jsou ve stejném řádku a ve stejném sloupci jako druhé podtržené číslo. Nakonec měl Jarda zopakovat postup ještě jednou a nakonec podtrhnout zbylé číslo. Mohlo to vypadat např. jako obrázku vpravo:

Kamarád pak Jardovi řekl, ať sečte čtyři podtržená čísla a poblahopřál mu k narozeninám vyjádřených tímto součtem. Jak to dokázal?

Řešení

Kružnice vepsaná do mnohoúhelníku

Je dána kružnice a jí opsaný konvexní mnohoúhelník. Uvnitř mnohoúhelníku je zvolen bod $X$. Úkolem je určit velikost poloměru kružnice pomocí vzdáleností bodu $X$ od jednotlivých stran mnohoúhelníku. Na obrázku je situace znázorněna pro případ sedmiúhelníku.

Řešení

Kde udělal Karel chybu?

Karel se v hodině matematiky přihlásil s tím, že v matematice objevil zásadní problém. Vyšlo mu, že $1=-1$. Předvedl následující postup: $$\eqalign{\sqrt{-1}&=\sqrt{-1}\cr \sqrt{1\over -1}&=\sqrt{-1\over1}\cr {\sqrt1\over\sqrt{-1}}&={\sqrt{-1}\over\sqrt1}\cr \sqrt1\cdot\sqrt1&=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}\cr 1&=-1}$$

Řešení

Deset mincí

Máte deset mincí a víte, že aspoň jedna z nich je pravá. Některé z nich jsou však možná i falešné. Navíc víte, že všechny pravé mince váží stejně a všechny falešné mince váží stejně, jen nevíte, jestli jsou lehčí nebo težší než ty pravé. Máte také obyčejnou dvouramennou váhu. Vaším úkolem je co nejmenším počtem vážení zjistit, jestli jsou všechny mince pravé, nebo jestli mezi nimi je nějaká falešná.

Snadno se to provede čtyřmi váženími: Porovnáme první dvě mince. Pokud jsou stejné, dáme obě mince na jednu misku a na druhou misku dáme další dvě. Jsou-li opět všechny stejné, dáme na jednu misku čtyři dosud zvážené mince a na druhou další čtyři mince. Jsou-li opět všechny stejné, porovnáme zbývající dvě mince se dvěma zváženými.

Existuje způsob, jak to provést jen třemi váženími?

Řešení

Paradoxní skládačka podruhé

V jedné z předchozích úloh jsme předvedli čtverec 8x8, který byl po rozřezání na čtyři na dva lichoběžníky a dva trojúhelníky složen do tvaru obdélníku 13x5, který má o jeden čtvereček větší obsah než původní čtverec. Nyní máme obrácenou situaci. Na obrázku vlevo je čtverec 13x13, který má obsah 139 čtverečků. Po rozřezání podle vyznačených čar jsou dva trojúhelníky a dva lichoběžníky na obrázku vpravo složeny do tvaru obdélníku 21x8 o obsahu 168 čtverečků. Tentokrát se nám jeden čtvereček ztratil.

Jistě přijdete na to, kde je. Dokážete sestavit další úlohy tohoto typu?

Řešení

Druhá odmocnina ze dvou není racionální číslo

Racionální číslo je reálné číslo, které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Již ve starověku bylo známo, že odmocnina ze dvou není racionální číslo. Umíte to dokázat?

Řešení

Počítání vlasů v Zapadlé Lhotě

V jedné z úloh jsme "počítali" vlasy Pražanů. V Zapadlé Lhotě je trochu složitější situace.

1. Žádní dva obyvatelé Zapadlé Lhoty nemají na hlavě přesně stejný počet vlasů.
2. Počet obyvatel Zapadlé Lhoty je větší než počet vlasů na hlavě kteréhokoli z jejích obyvatel.
3. Žádný z obyvatel Zapadlé Lhoty nemá na hlavě přesně $99$ vlasů.

Jaký je největší možný počet obyvatel Zapadlé Lhoty? Je někdo v Zapadlé Lhotě holohlavý?

Řešení

Paradoxní skládačka

Na obrázku vlevo je čtverec 8x8 s vyznačenými čarami. Když ho podle těchto čar rozřežeme na dva lichoběžníky a dva trojúhelníky a složíme podle obrázku vlevo, dostaneme obdélník 13x5. Zatímco původní čtverec měl obsah 64 čtverečků, obdélník má obsah 65 čtverečků.

Jak je to možné?

Řešení

Všechna čísla jsou si rovna?

Vezměme dvě různá čísla $a$, $b$ a jejich rozdíl označme $c$, $c=b-a$. Proveďme postupně následující úpravy: $$\eqalign{a&=b+c \quad /\cdot(a-b)\cr a^2-ab&=ab+ac-b^2-bc\cr a^2-ab-ac&=ab-b^2-bc\cr a(a-b-c)&=b(a-b-c)\quad /:(a-b-c)\cr a&=b} $$ Ouvej! Kde jsme udělali chybu?

Řešení

Obsah mezikruží

Na obrázku je vybarveno mezikruží vytvořené dvěma soustřednými kružnicemi. Červeně vyznačená úsečka je nejdelší tětivou větší kružnice dotýkající se menší kružnice (je to samozřejmě jedna z nekonečně tětiv těchto vlastností). Tětiva má délku $t$.

Určete velikost plošného obsahu mezikruží.

Řešení

Dvě mince

Mám dvě mince, jejichž ceková hodnota je 30 Kč, ačkoli jedna z nich není desetikoruna. Jak je to možné?

Řešení

Dva běžci

Dva žáci stojí na opačných koncích běžecké dráhy na školním hřišti. Na povel současně vyběhnou proti sobě. Každý z nich běží stálou rychlostí. Když se poprvé minou, pomalejší z nich uběhl 35 m. Po doběhu na konec dráhy se každý otočí a běží zpět. Když se setkají podruhé, ten pomalejší uběhl 15 m od otočky. Jak dlouhá je běžecká dráha?

Řešení

Čtyři roboti

Členové kroužku kybernetiky zkonstruovali čtyři robotická vozítka naprogramovaná tak, že se všechna pohybují stejnou stálou rychostí a v každém okamžiku se robot A pohybuje přesně ve směru robota B, robot B se pohybuje přesně ve směru robota C, robot C přesně ve směru robota D a robot  D přesně ve směru robota A. Umístili roboty na podlahu do vrcholů čtverce v pořadí A, B, C, D ve směru pohybu hodinových ručiček a najednou je spustili. Je zřejmé, že každý z robotů se pohybuje po spirálové dráze směrem do středu čtverce. Jak dlouhou cestu každý z nich urazí do setkání upostřed čtverce? (Pro jednoduchost zanedbáváme velikost robotů, takže se roboti setkají přesně uprostřed čtverce.)

Řešení

Za kterými dveřmi je princezna?

Honza se přišel ucházet o princeznu. Krále ta troufalost překvapí, ale princezně se Honza líbí a na její prosbu mu dá šanci. Přivede ho před troje dveře do tří komnat a řekne mu, že v jedné komnatě je princezna, v jedné je žalářník, jedna komnata je prázdná. Honza dostane princeznu, když ukáže na dveře do komnaty s princeznou. Když ukáže na dveře do komnaty s žalářníkem, ten ho odvede do šatlavy. Když ukáže na dveře prázdné komnaty, princeznu nedostane, ale nic se mu nestane. Na prvních dveřích je nápis "za těmito dveřmí je princezna", na druhých je nápis "za těmito dveřmí princezna není" a na třetích dveřích je nápis "princezna není za prvními dveřmi". Král Honzoví vysvětlí, že nejvýše jeden z nápisů je pravdivý. Za kterými dveřmi je princezna?

Řešení

$a=0$?

Eva si procvičovala úpravy algebraických výrazů a vyšlo jí, že každé reálné číslo je rovno nule: $$\eqalign{a&=b\quad /\cdot a\cr a^2&=ab\cr a^2-ab&=0\cr a(a-b)&=0\quad /:(a-b)\cr a&=0} $$ To jistě nemůže být pravda. Co udělala špatně?

Řešení

Délka úhlopříčky

Do čtvrtkruhu o poloměru $2a$ je vepsán obdélník $ABCD$ vyznačený modře na obrázku:

Jak dlouhá je jeho úhlopříčka $BD$? Na odpověď máte jen pět sekund!

Velká rodinná oslava

Rodina se sešla na oslavě narozenin babičky, která již bohužel nevidí, ale zachovala si své schopnosti vynikající počtářky. Sešlost se skládá z babičky a dědečka, dvou otců, dvou matek, čtyř dětí, tří vnoučat, bratra, dvou sester, dvou synů, dvou dcer, tchána, tchyně a snachy. Na babiččinu otázku, kolik lidí na oslavu přišlo, vnučka Anička, která zdědila nadání po babičce, odpoví šibalsky: "Babičko, pokud bys vzala libovolné dvojciferné číslo a třikrát ho zapsala za sebou, výsledné šestimístné číslo bude zcela jistě dělitelné počtem přítomných osob."
Jaký je nejmenší počet účastníků oslavy a proč je každé šestimístné číslo sestavené výše uvedeným způsobem dělitelné tímto nejmenším počtem?

Řešení

Pokrývání šachovnice

Vlevo na obrázku je šachovnice, ze které bylo vyříznuto levé horní a pravé dolní bílé pole. Vedle šachovnice je znázorněna kostka domina, která přesně pokrývá dvě sousední pole šachovnice. Lze takovými kostkami domina pokrýt celou desku bez dvou polí znázorněnou vlevo tak, aby se kostky nepřekrývaly? A co když místo dvou rohových polí vyřízneme dvě pole uprostřed znázorněná na pravé šachovnici modře?

Řešení

Jak rozřezat krychli?

Truhlář dostal za úkol rozřezat pilou dřevěnou krychli na 9 stejně velkých krychliček. To je snadný úkol: stačí na hraně krychle vyznačit její třetiny a vést tudy řezy kolmé k hraně a totéž pak zopakovat u dvou sousedních hran. Stačí tedy celkem 6 řezů. Truhlář však raději přemýšlel, než by se zbytečně namáhal a zamyslel se nad tím, jestli neexistuje šikovný způsob, jak krychli rozřezat menším počtem řezů. Umíte mu poradit?

Řešení

Halloween a Vánoce

Tahle úloha je spíš trochu silvestrovská. Zlí jazykové tvrdí, že si angličtí matematici pletou Halloween a Vánoce. Víte proč?

Řešení

Kouzla s čísly jinak

Už jsme tu měli jednoho kouzelníka udivujícího kouzly s čísly. Tentokrát kouzelník vyvolal diváka a požádal ho, aby hodil třemi obyčejnými hracími kostkami, ale aby mu neukazoval, co padlo. Potom mu řekl: "První číslo vynásobte dvěma a přičtěte k němu pět, výsledek vynásobte pěti a přičtěte k tomu číslo na druhé kostce. Výsledek vynásobte deseti a přičtěte k tomu číslo na třetí kostce. Kolik vám vyšlo?" Když divák řekl 817, kouzelník ho pokáral, ať si to přepočítá, že určitě udělal chybu. Divák se omluvil, že se skutečně spletl, že správný výsledek je 814. Kouzelník se zahleděl do dálky, cosi zamumlal a řeknl: "Tak to je jasné. Na první kostce padlo 5, na druhé 6 a na třetí 4." Jak to dokázal? A jak přišel na to, že se divák poprvé spletl?

Řešení

Tři hlavolamy se zápalkami

Máte dobrou představivost? V obrazci vlevo je vaším úkolem odebrat nejmenší počet zápalek tak, aby zbylé zápalky tvořily čtyři stejné rovnostranné trojúhelníky. V obrazci uprostřed je vaším úkolem přemístit co nejmennší počet zápalek tak, aby ryba plula opačným směrem. Jaký nejmenší počet zápalek je třeba přemístit ve třetím obrazci, aby oliva byla mimo sklenici?

Řešení

Změna pořadí číslic

Existuje celé kladné číslo, jehož šestinásobek je vyjádřen stejnými číslicemi uspořádanými v opačném pořadí?

Úloha je překvapivě snadná, přestože pochází z Matematické olympiády v Německu v roce 1961, kde byla zařazena do třetího kola ze čtyř pro kategorii žáků 11. tříd.

Řešení

Ponožky v šuplíku

V šuplíku je pět párů černých a pět párů bílých ponožek. Kolik ponožek musím vytáhnout poslepu z šuplíku, abych měl jistotu, že budu mít aspoň jeden pár stejné barvy?

Tak to je známá a hodně snadná úloha. Trochu to zkomplikujeme. V šuplíku mám určitý počet černých a stejný počet bílých ponožek. Kolik jich v šuplíku je, když vím, že nejmenší počet ponožek, které musím vytáhnout, abych s jistotou měl alespoň jeden pár stejné barvy, je stejný jako nejmenší počet ponožek, které musím vytáhnout, abych s jistotou měl alespoň dvě ponožky různé barvy?

Řešení

Jak udělat čtvercovou desku?

Truhláři ve skladu zbyl kus dřevěné desky tohoto tvaru:

Chtěl by z ní vyrobit co největší čtvercovou desku. Pochopitelně by chtěl co nejméně řezat a lepit. Jak má postupovat?

Řešení

Je na ostrově trosečník?

Loď ztroskotala v oblasti souostroví, o jehož obyvatelích je známo, že každý z nich buď vždy mluví pravdu nebo vždy lže. Záchranná výprava hledající trosečníky připluje k ostrovu a ptá se domorodce, jestli je na ostrově nějaký trosečník. Domorodec odpoví: "Je tu trosečník, právě když jsem pravdomluvný." Je ten domorodec pravdomluvný nebo lhář? Lze z jeho odpovědi usoudit, zda je na ostrově trosečník?

Řešení

Utajené číslo

Mezi úlohami pro řešitele Matematické olympiády v Německu v roce 2010 se v oblastním kole objevila následující úloha. (Šlo o druhé kolo ze čtyř, obtížnost úloh byla ještě poměrně nízká.) Čtyři kamarádi, Alena, Bára, Cyril a David se dohodli na určitém čísle, zapsali ho na papír. Každý z nich o tom čísle vyslovil dva výroky, z nichž vždy jeden je pravdivý a druhý nepravdivý. Výroky, označené počátečními písmeny jejich jmen, zněly takto:

A1: "Číslo je trojciferné."
A2: "Součin všech jeho číslic je $23$."
B1: "Číslo je dělitelné $37$."
B2: "V zápisu čísla se vyskytují tři stejné číslice."
C1: "Číslo je dělitelné $11$."
C2: "Na posledním místě je číslice $0$."
D1: "Ciferný součet je větší než $10$."
D2: "Číslice na pozici stovek není největší ani nejmenší ze všech číslic."

Dokážete určit, které číslo bylo zapsáno na papíru?

Řešení

Kužel a koule ve válci

Do rotačního válce o poloměru $R$ je vložen kužel, který má s válcem společnou podstavu a jehož vrchol splývá se středem horní podstavy válce. Uvnitř válce je umístěno šest stejných koulí takovým způsobem, že se každá dotýká sousedních dvou koulí, pláště kužele, pláště a horní podstavy válce. Vypočtěte poloměr $\rho$ největší koule vložené do kužele.

Řešení

Kouzla s čísly

Někteří kouzelníci rádi udivují diváky svými "nadpřirozenými" schopnostmi v oblasti čísel. Takový kouzelník třeba vyvolá diváka a požádá ho, aby si na papír poznamenal libovolné dvojciferné číslo a aby ho zapsal čtyřikrát za sebou a vytvořil tak osmiciferné číslo. Pak ho požádá třeba o jeho datum narození, směrovací číslo nebo cokoli jiného, "zamyslí se" a pak oznámí, že výsledné osmimístné číslo je dělitelné číslem $73$. Jak to dokázal?

Řešení

Složitější hra s čepičkami

Tato hra je náročnější. Skupině lidí vysvětlíme pravidla a dáme jim čas na domluvu o vhodné strategii. Pravidla jsou následující: Účastníci se seřadí do zástupu podle velikosti tak, že na začátku stojí nejmenší, na konci největší. Každý se smí dívat jen dopředu na ty menší, které má před sebou. Každému účastníku pak dáme na hlavu černou nebo bílou čepičku tak, aby neviděl, jakou má barvu. Na dané znamení jeden po druhém postupně od největšího po nejmenšího řekne buď "černá", nebo "bílá", nic jiného. Úkolem je dosáhnout toho, že se nejvýše jeden hráč zmýlí při určení barvy čepičky na své hlavě. Jakou strategii mají hráči zvolit?

Řešení

Úhly v krychli

Na stěnách krychle na obrázku jsou červeně vyznačeny dvě úsečky spojující středy hran. Jaký úhel svírají?

Řešení

Falešné mince podruhé a složitěji

Před několika týdny jsme tu měli klasickou úlohu, jak jedním vážením zjistit, ve kterém pytli jsou ošizené, o $1$ gram lehčí mince. Král se dozvěděl, že se ho mincmistr pokusil ošidit a vyrobil několik pytlů mincí, které váží o $1$ gram méně než předepsaných $10$ gramů. Nechal z mincovny přinést $6$ pytlů s vyrobenými mincemi, předvolal si mincmistra a řekl mu, že když nedokáže jedním vážením zjistit, ve kterých pytlech jsou ty lehčí mince, bude popraven. Jak si mincmistr zachrání život? Úloha je složitější v tom, že pytlů s ošizenými mincemi může být víc.

Řešení

Komu věřit?

Opět jsme na logiky oblíbeném ostrově, kde každý domorodec je buď pravdomluvný nebo je lhář. Poutník má v cestě rozbouřenou řeku a chce zjistit, kterým směrem je nejbližší most. Na druhém břehu stojí tři domorodci. Poutník potřebuje zjistit, kdo je pravdomluvný. Zavolá na prvního: "Jsi pravdomluvný?" Odpověď se však ztratí v hukotu vody. Zavolá na druhého domorodce: "Odpověď nebyla slyšet. Co řekl ten člověk?" Druhý odpoví: "Jsem pravdomluvný." Poutník ještě zavolá na třetího: "Jsi pravdomluvný nebo lhář? A jací jsou ti druzí dva?" Otázaný odpoví: "Jsem pravdomluvný. Ti další dva jsou lháři." Koho se má poutník zeptat na cestu k mostu?

Řešení

Koule v krychli

Krychli o hraně délky $a$ je vepsána koule o poloměru ${a\over2}$ se středem ve středu krychle. Do prostoru mezi koulí a stěnami krychle je vložena menší koule, která se dotýká větší koule a tří stěn krychle.

Řešení

Devíticiferná čísla dělitelná 45

Kolik existuje devíticiferných čísel dělitelných $45$ a sestavených z číslic $1,2,3,\dots,9$ tak, že každá z těchto číslic se v jejich vyjádření vyskytuje přesně jednou?

Řešení

Kde je princezna?

Jak to v pohádkách bývá, Honza chce získat princeznu, musí však prokázat, že není žádný hloupý Honza. Král ho přivede do komnaty se dvěma závěsy. Má uhodnout, za kterým z nich je princezna ukryta. V komnatě stojí dva sluhové, kteří vědí, kde princezna je. Honza však smí položit jen jednomu z nich jedinou otázku. Král Honzovi řekne, že jeden sluha má příkaz odpovídat pravdivě, druhý nepravdivě. Jak to Honza udělá, aby princeznu získal?

Řešení

Arbelos

V úloze o Archimedových kruhových dvojčatech jsme již uvedli, že vybarvenému obrazci na obrázku se říká arbelos.

Název pochází z řečtiny, kde arbylos označuje ševcovský nůž (viz https://en.wikipedia.org/wiki/Arbelos#/media/File:Arbelos_Shoemakers_Knife.jpg).
Arbelos má jako geometrický útvar řadu pozoruhodných vlastností a souvislostí. Umíte ukázat, že plošný obsah arbelu je roven obsahu kruhu ohraničeného červenou kružnicí na obrázku?

Řešení

První a poslední číslice

Určete prvních devět a posledních devět číslic podílu $3\underbrace{000000\dots00000}_{{\rm 99\ nul}}7:37$ a zbytek dělení.

Řešení

Lháři a pravdomluvní u kulatého stolu

U kulatého stolu se sešla skupina lidí, z nichž někteří jsou pravdomluvní a někteří jsou lháři. Každý z nich tvrdí o svých dvou sousedech, že jsou lháři. Jeden z nich prohlásí, že kolem stolu sedí celkem jedenáct lidí. Druhý mu odporuje a řekne: "Lžete! Je nás deset." Kolik lidí tvoří tuto společnost? Kolik je mezi nimi lhářů?

Řešení

Čtvrkruh a polokružnice

Je dán čtvrtkruh a do něj jsou vepsány dvě polokružnice, jejichž průměry splývají s poloměry daného čtvrtkruhu: Polokružnice ve čtvrtkruhu vytínají dva obrazce, které jsou na obrázku vybarveny červeně a modře. Dokažte, že mají stejný obsah.
Autorem této úlohy je japonský tvůrce matematických hlavolamů Kobon Fujimura.

Řešení

Kolik zbylo na sestru?

Dva bratři se rozhodli prodat svou sbírku plastových autiček. Za celou sbírku dostali tolik peněz, že na jedno autičko v průměru připadlo tolik korun, jako byl počet všech autíček ve sbírce. Dohodli se na následujícím dělení zisku. Starší bratr si vezme 10 Kč, pak si mladší bratr vezme 10 Kč, pak si opět starší vezme 10 Kč, atd. Případný zbytek (menší než 10 Kč) věnují své sestře. Dopadlo to tak, že poslední desetikorunu si vzal starší bratr. Kolik korun dostala sestra?

Řešení

Otázka, na kterou ani Děd Vševěd neumí odpovědět

Děd Vševěd přece ví vše, a tedy umí odpovědět na každou otázku. Opravdu? Umíte zformulovat otázku, na kterou ani Děd Vševěd nenajde odpověď?

Řešení

Úhly v krychli

Na stěnách krychle na obrázku jsou červěně vyznačeny dvě úhlopříčky. Jaký úhel svírají?

Řešení

Kolik jim je let?

Rodiče mají dvě děti. Otec je starší než matka, oba se znají již od dětství. Určete věk jednotlivých členů rodiny vyjádřený celými čísly, když víte, že součin jejich věků je $44\thinspace950$.

Řešení

Hra s čepičkami

Představte si následující hru pro libovolně velkou skupinu účastníků. Každému nasadíme na hlavu buď černou nebo bílou čepičku tak, aby nevěděl, jakou barvu čepička má. Úkolem hráčů bude rozřadit se do dvou skupin tak, aby v jedné měli všichni bílé čepičky a ve druhé černé. Hráči spolu nesmějí mluvit, dávat si znamení ani jinak komunikovat. Mohou se však ještě před rozdáním čepiček domluvit. Poradíte jim vhodnou strategii?

Řešení

Rozměry kašny

Kašna má tvar půkruhu přiléhajícího ke stěně, v jehož středu je půlkulatý sokl se sochou. Potřebujeme zjistit velikost kašny. Tomu, abychom změřili její poloměr, však překáží sokl uprostřed. Šikovný geometr si pomůže. Vyznačí si na stěně bod (bod $B$ na obrázku) ve výšce okraje kašny a ve vzdálenosti 50 cm od okraje kašny (bod $A$ na obrázku) a na okraji kašny vyznačí bod na kolmici ke stěně vedené z bodu $B$ (bod $C$ na obrázku). Změří, že vzdálenost mezi body $B$ a $C$ je 150 cm, a z toho vypočítá poloměr. Jak velký je poloměr kašny?

Řešení

Volební průzkum

V obci probíhají volby starosty, do kterých byli nominováni čtyři kandidáti: Anna, Břetislav, Cyril a Dorota. Všichni jsou napjatí, jak to dopadne, a tak místní kronikář dělá povolební průzkum tak, že každého z 250 voličů při východu nechá vyplnit dotazník se čtyřmi otázkami, na každou z nichž mají odpovědět buď "ano" nebo "ne":

Volil/a jste Annu?
Volil/a jste Břetislava?
Volil/a jste Cyrila?
Volil/a jste Dorotu?

Kronikář vyhodnotil obdržené odpovědi a zjistil, že na první otázku odpovědělo "ano" 90 lidí, na druhou otázku 100 a na třetí a čtvrtou otázku shodně po 80 lidech. Potíž je v tom, že o obyvatelích obce je známo, že každý z nich buď vždy mluví pravdu, nebo vždy lže. O výsledku volby se tedy kronikář z průzkumu nic nedozví. Zato může zjistit, kolik je mezi těmi 250 voliči lhářů. Víte, kolik jich je?

Řešení

Honza a duchové

Honza jde vysvobodit princeznu ze zakletého zámku. Přijde na rozcestí, odkud vedou dál dvě cesty. Na rozcestí jsou tři duchové, z nichž jeden vždy mluví pravdu, jeden vždy lže a jeden někdy mluví pravdu a někdy lže. Honza smí položit jen dvě otázky - buď každou jinému duchovi, nebo obě jednomu z nich. Jak má postupovat, aby se od duchů dozvěděl, kterou cestou se má vydat? To není lehká otázka.

Řešení

Ruská ruleta jinak

Ruská ruleta je hazardní hra, kde v sázce je život. Do šestikomorového bubínkového revolveru se vsune jeden náboj. Hráč válec roztočí, přiloží revolver ke spánku a zmáčkne spoušť. Šance na výhru, tj. na přežití, je samozřejmě $5:6$. Hru trochu pozměníme a revolver nabijeme dvěma náboji vloženými do sousedních komor a necháme na hráčích, jestli před zmáčknutím spouště bubínek roztočí nebo ne. Samozřejmě nebudeme hazardovat a budeme mířit na terč, ne na člověka. Představme si, že první hráč roztočil bubínek, zmáčkl spoušť a revolver nevystřelil. Jste další na řadě. Máte na výběr, jestli bubínek roztočíte nebo ne. Jak se rozhodnete?

Řešení

Pohyblivé schody

Běhat po pohyblivých schodech v protisměru se zakazuje. My si však vyžádáme výjimečné povolení pro experiment nebo ho prostě uděláme myšlenkově. Představte si, že stoupáte rovnoměrným tempem po pohyblivých schodech a po 30 krocích vystoupáte nahoru. Potom se otočíte, po stejných schodech kráčíte stejným tempem dolů a po 70 krocích sestoupíte dolů. Kolik schodů byste museli vystoupat, kdyby se schody nepohybovaly?

Řešení

Tři vypínače a tři žárovky

V rámci testu kreativního myšlení vám předloží uzavřenou bednu s víkem, na které jsou tři vypínače. Každý z nich zapíná jednu ze tří žárovek uvnitř bedny. Žárovky jsou vypnuté. Smíte vypínače jakkoli zapínat a vypínat, pak jednou otevřít víko a určit, který vypínač zapíná kterou žárovku. Kdyby tam byly dvě žárovky a dva vypínače, bylo by to prosté – jeden z nich zapneme, otevřeme víko a zjistíme, která žárovka svítí. Se třemi žárovkami však tato strategie nefunguje. Potíž je v tom, že každý vypínač má jen dvě polohy, takže pouhé polohy zapnuto a vypnuto nám poskytnou málo informace. Poradíte si s tím?

Řešení

Japonský chrám

Tohle je další z historické sbírky japonských úloh san gaku. Lichoběžník $ABCD$ je opsán dvěma dotýkajícím se kružnicím $k_1$, $k_2$. Jeho základny mají délky $|AB|=2a$, $|CD|=2b$.

Určete velikosti poloměrů $r_1$, $r_2$ obou kružnic.

Řešení

Která číslice je na konci?

Existují "kouzelníci", kteří se živí tím, že na estrádách předvádějí bleskurychlé výpočty s velkými čísly. To zpravidla vyžaduje schopnost hlubokého soustředění, vynikající paměť, tvrdý trénink a znalost užitečných triků. Tato úloha je mnohem snazší, i když tak na první pohled nevypadá. Dokážete rychle určit poslední číslici součtu šestých mocnin čísel 111, 222, 333, 444, 555 a 666?

Řešení

Čtyři turisté a visutý most

Každý jistě zná úlohu o vlku, koze a zelí, které je třeba přepravit bez úhony přes řeku. Naše úloha je trochu složitější.
Čtyři turisté se vracejí za tmy po dlouhém celodenním výletu v horách a chtějí stihnout poslední autobus, který odjíždí přesně za hodinu. Od autobusu je dělí visutý most nad rozbouřenou řekou, který je úzký a ve velmi špatném stavu, unese jen dvě osoby a nedá se přejít potmě. Turisté mají jen jednu funkční svítilnu, dva z nich si ke všemu zvrtli kotník a mohou jít jen velmi pomalu. Nejrychlejší z turistů dokáže přejít most za 5 minut, druhý za 10 minut a ti zranění budou potřebovat 20, resp. 25 minut.
Mají turisté šanci stihnout autobus?

Řešení

Archimedova kruhová dvojčata

Je dána půlkružnice $k_1$ o poloměru $r_1$ a v ní dvě půlkružnice $k_2$, $k_3$ se středy ležícími na průměru půlkružnice $k_1$ a s poloměry $r_2$, $r_3$, jejichž součet se rovná $r_1$.

Plocha mezi půlkružnicemi $k_1$, $k_2$, $k_3$ se nazývá arbelos (z řeckého arbylos, ševcovský nůž). V bodě dotyku půlkružníc $k_2$, $k_3$ je vztyčena kolmice k průměru, která dělí arbelos na dvě části. V každé z nich je sestrojena kružnice $k_4$, $k_5$, která se dotýká kolmice a půlkružníc $k_1$, $k_2$, resp. $k_1$, $k_3$. Dokažte, že kružnice $k_4$, $k_5$ jsou shodné.
Úloha pochází z Archimedovy "Knihy lemat", která se dochovala v překladu, jejž pořídil arabský matematik a astronom Thabit Qurra ibn al-Ḥarrānī.

Řešení

Věk matematikových děti ještě jinak?

Už jsme se jednou setkali s matematikem, který se bavil tím, že nechal kolegu uhodnout věk jeho tří dětí. Zde je jiná varianta.
"Mám tři děti, součin jejich věků vyjádřených celými čísly je 36, součet odpovídá přesně číslu dnešního dne v měsíci," pochlubí se kolegovi.
"To je nedostatečná informace."
"Ano. Nejstarší z nich je syn."
Jak staré jsou děti?

Řešení

Expedice přes poušť

Velitel připravuje cestu expedice přes poušť. Ví, že k jejímu překonání budou potřebovat šest dnů. Může si obstarat jakékoli množství jídla a pití, výprava však najednou unese zásoby jen na čtyři dny. Jak je třeba cestu naplánovat a kolik zásob jídla a pití celkem bude expedice potřebovat?

Řešení

Lichoběžník a kružnice

Délky základen rovnoramenného lichoběžníku $ABCD$ jsou v poměru $|AB|:|CD|=3:2$. Kružnice sestrojená nad průměrem $AB$ protíná základnu $CD$ tak, že její část ležící uvnitř kružnice má délku ${1\over2}|CD|$.

V jakém poměru dělí kružnice ramena lichoběžníku?

Řešení

Velká a malá ručička na hodinách

Starší řidiči si jistě pamatují poučku z autoškoly, že při řízení mají být ruce na volantu v poloze "za deset minut dvě" nebo "deset deset". U dnešních menších volantů s posilovačem řízení se za optimální z hlediska bezpečnosti považuje poloha "tři čtvrtě na tři". To jsou ovšem jen symbolické, přibližné instrukce. Podle nich by totiž obě ruce nebyly ve stejné výšce. Existuje vůbec postavení hodinových ručiček symetrické podle svislé osy? Jaký čas v takovém okamžiku hodiny ukazují? Předpokládejme, že ručičky neposkakují, pohybují se rovnoměrným pohybem.

Řešení

Jsou v Praze dva lidé se stejným počtem vlasů?

Řešení

Čtverec a trojúhelník v kruhu

Ke čtverci o straně délky $a$ přiléhá rovnostranný trojúhelník, jak je znázorněno na obrázku. Určete velikost poloměru kružnice $k$ opsané tomuto obrazci.

Řešení

Přesýpací hodiny

Odměřte 15 minut pomocí dvou přesýpacích hodin, z nichž jedny odměřují 7 minut a druhé 11 minut. Dokážete to jen trojím obrácením hodin?

Řešení

Kolik je třem dětem let?

Dva matematici, kteří přijeli na konferenci, se po letech potkají na chodbě hotelu a dají se do hovoru.
Karel: "Dlouho jsme se neviděli. Víš, že mám tři děti?"
Pierre: "To je pěkné. Kolik jim je let?"
Karel: „No, to snadno zjistíš. Součin jejich věku je 36 a součet jejich věku je stejný jako číslo tohoto patra."
Pierre po krátkém zamyšlení: "Tato informace mi nestačí."
Karel: "Máš pravdu. Nejstarší dítě je syn."
Pierre: "Aha, tak teď už vím, kolik jim je let."
Jak staré jsou Karlovy děti?

Řešení

Tangens vnitřních úhlů v trojúhelníku

Může být tangens každého ze tří vnitřních úhlů trojúhelníku kladné celé číslo? Jaký tvar má takový trojúhelník?

Řešení

Měření času doutnákem

Máte jeden doutnák a krabičku zápalek. Víte jen to, že doutnák po zapálení na jednom konci dohoří přesně za minutu. Doutnák však může hořet nepravidelným tempem. Jak odměříte 15 sekund? (Úloha má teoretické řešení, realizovat ho v praxi nemusí být možné.)

Řešení

Dcery a synové

Uvažujme všechny rodiny se dvěma dětmi, z nichž jedno je dcera. Pro jednoduchost předpokládejme, že se v populaci rodí stejné množství chlapců jako dívek. S jakou pravděpodobností mají v těchto rodinách i syna?

Řešení

Dva jehlany

Uvažujme dva jehlany. Jeden má trojúhelníkovou podstavu, druhý čtvercovou. Všechny hrany obou jehlanů mají stejnou délku.

Stěny plášťů obou jehlanů jsou tedy tvořeny shodnými rovnostrannými trojúhelníky. Přiložíme oba jehlany k sobě tak, aby jejich příslušné trojúhelníkové stěny splývaly. Kolik stěn bude mít výsledné těleso?

Řešení

Souboj pěti gangsterů

Pět gangsterů vyjde před putyku, aby si spolu vyřídili účty. Postaví se tak, že vzdálenost mezi každými dvěma z nich je jiná. Každý zamíří na toho nejbližšího a všichni na povel najednou vystřelí. Nejméně jeden z nich souboj přežije. Umíte to vysvětlit?

Řešení

Jak sečíst 999 zlomků?

Určitá míra lenosti je užitečná. Než se pustíme do na první pohled úmorného počítání, je dobré se napřed zamyslet. O brzké genialitě jednoho z největších matematiků Carla Friedricha Gausse se traduje, jak jeho učitel chtěl na chvíli zabavit žáky a dal jim sečíst přirozená čísla od jedné do sta. Mladý Gauss ho překvapil téměř okamžitou odpovědí. Místo mechanického sčítání dlouhé řady čísel si uvědomil, že když čísla seřadí do sloupce a napíše vedle nich čísla v opačném pořadí, bude součet v každém řádku 101, a tedy součet čísel v jednom sloupci bude $101\cdot100\cdot{1\over2}=5050$. Přijdete na to, jak rychle sečíst řadu zlomků ${1\over1\cdot2}+{1\over2\cdot3}+{1\over3\cdot4}+\dots+{1\over998\cdot999}+{1\over999\cdot1000}$?

Řešení

Dvě věže

Dvě válcové věže mají stejnou výšku, ale různý poloměr. Kolem každé věže se od paty po horní ochoz vine výstupní rampa, která má v obou případech stejný stálý sklon. Po které rampě při výstupu na věž ujdeme větší vzdálenost?

Řešení

Kdo z těch čtyř mluví pravdu?

Čtyři chlapíci o sobě vědí, že každý z nich buď vždy říká pravdu, nebo vždy lže. Na otázku, kolik je mezi nimi lhářů, odpovědí:

První: "Jeden z nás lže."
Druhý: "Dva z nás lžou."
Třetí: "Tři z nás lžou."
Čtvrtý: "Všichni čtyři lžeme."

Poznáte, kdo z nich lže a kdo mluví pravdu?

Řešení

Čtyři děti

Novomanželé Jan a Jana plánují založení rodiny. Chtěli by mít čtyři děti. Jana si dělá trochu starosti: "A co když to budou čtyři kluci nebo čtyři holky?" Jan ji chlácholí: "To je sice možné, ale málo pravděpodobné. Pokud předpokládáme, že se dívky a chlapci rodí stejně často, pak nejpravděpodobnější sestava je dva kluci a dvě holky." Má pravdu?

Řešení

Půlkruh v lichoběžníku

Lichoběžník $ABCD$ má tu vlastnost, že střed kružnice dotýkající se základny $BC$ a ramen $AB$, $CD$ leží na základně $CD$. Určete délku základny $|CD|=d$, jsou-li dány délky ramen $|AB|=a$, $|CD|=c$.

Řešení

Diplomatická pošta

Agent pracující na vyslanectví chce poslat do centrály citlivé dokumenty. Protože ví, že kontrarozvědka tajně otvírá diplomatickou poštu, pořídí si bezpečnostní schránkou s visacím zámkem, od kterého má klíč pouze on. Poslat klíč by nebylo bezpečné. Jak to ve spolupráci s centrálou provede, aby dokumenty doručil s jistotou, že je nikdo nepovolaný neviděl? (Jde o logickou úvahu, nehledejte násilná řešení ve stylu bondovek. Předpokládejte, že schránku ani zámek nelze otevřít jinak než použitím klíče.)

Řešení

Kolik je dětem let?

Dva matematici, kteří přijeli na konferenci, se po letech potkají na chodbě hotelu a dají se do hovoru.
Karel: "Dlouho jsme se neviděli. Víš, že mám tři děti?"
Pierre: "To je pěkné. Kolik jim je let?"
Karel: „No, to snadno zjistíš. Součin jejich věku je 36 a součet jejich věku je stejný jako číslo tohoto patra."
Pierre po krátkém zamyšlení: "Tato informace mi nestačí."
Karel: "Máš pravdu. Nejstarší dítě je syn."
Pierre: "Aha, tak teď už vím, kolik jim je let."
Jak staré jsou Karlovy děti? Věk dětí je samozřejmě vyjádřen celými čísly.

Řešení

San gaku 1

San gaku jsou japonské geometrické úlohy a tvrzení, které byly během éry Edo v 17. až 19. století malovány na dřevěné desky a věnovány šintostickým svatyním a budhistickým chrámům jako oběť nebo jako úlohy pro mnichy. Toto je příklad:

Mějme rovnoramenný trojúhelník $ABC$ s délkami stran $b=|AC|=|BC|$ a $2c=|AB|$. Trojúhelník má vepsanou kružnici $k_1$ o poloměru $r_1$, která se dotýká stran $AC$, $BC$ trojúhelníku v bodech $D$, $E$. Trojúhelníku $DEC$ je obdobně vepsána kružnice $k_2$ o poloměru $r_2$. Kružnice $k_3$ o poloměru $r_3$ se dotýká obou kružnic $k_1$, $k_2$ (viz obrázek).

Určete poměr poloměrů $r_2 : r_3$.

Řešení

Džbán a dvě sklenice

Máte džbán s vodou, do kterého se vejde víc než 1 l vody, a dvě sklenice o objemu 0,5 l a 0,2 l. Vaším úkolem je vodu ze džbánu rozlít do sklenic tak, aby v každé z nich bylo přesně 0,2 l vody.

Řešení

Zbytky při dělení

Najděte nejmenší celé kladné číslo, které při dělení 2 dá zbytek 1, při dělení 3 dá zbytek 2, při dělení 4 dá zbytek 3, při dělení 5 dá zbytek 4, při dělení 6 dá zbytek 5, při dělení 7 dá zbytek 6, při dělení 8 dá zbytek 7, při dělení 9 dá zbytek 8, při dělení 10 dá zbytek 9 a při dělení 11 dá zbytek 10.

Řešení

Prádelní šňůry

Na dvoře jsou čtyři kůly pro sušení prádla uspořádané do čtverce. Děti si hrály s prádelní šňůrou, natáhly ji od tří kůlů doprostřed a svázaly tak, jak je na obrázku vyznačeno modrými čarami. Tři úseky šňůry od kůlů k uzlu uprostřed jsou dlouhé $a$, $b$, $c$. Jak dlouhá bude šňůra od uzlu ke čtvrtému kůlu (na obrázky vyznačeno červeně)?

Řešení

Poutník na rozcestí

Poutník přijde na rozcestí, z něhož vedou cesty ke dvěma městům, o kterých je známo, že v jednom žijí lidé, kteří vždy říkají pravdu, a ve druhém lidé, kteří vždy lžou. Na rozcestí potká člověka z jednoho z těch dvou měst. Jakou otázku mu položí, aby se bezpečně dozvěděl, do kterého města která cesta vede?

Řešení

Sultánův poklad

Sultán měl 6 synů. Měl také palác s mnoha sklepními kobkami, ve kterých byl ukryt poklad. V každé kobce bylo tolik truhlic, jako kobek v paláci. Každá truhlice obsahovala tolik zlaťáků mincí, kolik truhlic bylo v kobce. Sultán si zavolal pokladníka a řekl mu, že dostane jednu truhlici se zlaťáky, když dokáže rozdělit zbývající poklad svým 6 synům rovným dílem. Když to nedokáže, přijde o hlavu. Jakou šanci měl pokladník, že si zachrání život a získá truhlici se zlaťáky?

Řešení

Jak spravedlivě rozdělit dort?

Anička, Bětka a Cecilka dostaly dort a chtějí si ho spravedlivě rozdělit. Kdyby jedna z nich dort rozkrájela a každá by si jednoduše vzala jeden kus, mohla by si některá z nich myslet, že všechny kusy nebyly stejně velké a na ni zbyl ten nejmenší. Jak mají postupovat, aby si žádná z nich nemohla právem stěžovat, že dostala méně než třetinu dortu?

Řešení

Neposedný pes

Muž pracuje 10 km od domova a vrací se z práce domů na kole. Ve stejném okamžiku, kdy vyráží na cestu domů, jeho mu žena vychází pěšky naproti se svým psem. Muž jede rychlostí 15 km/h, žena jde rychlostí 5 km/h. Pes, který běhá rychlostí 20 km/h, okamžitě vyrazí pánovi naproti. Jakmile k němu doběhne, otočí se a běží zpět ke své paní. Když k ní dorazí, běží opět k pánovi. To se opakuje až do okamžiku, kdy se muž se ženou potkají. Kolik toho pes celkem naběhá?

Řešení

Doutnáky

Máte dva doutnáky a zapalovač. Víte jen to, že každý z doutnáků po zapálení na jednom konci dohoří přesně za minutu. Doutnák může hořet nepravidelným tempem. Jak pomocí těch dvou doutnáků odměříte 45 sekund?

Řešení

S jakou pravděpodobností je druhé z dětí dcera?

Předpokládejme, že chlapci se rodí se stejnou pravděpodobností jako dívky, a uvažujme všechny rodičovské páry, které mají dvě děti, z nichž jedno je syn. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný takový pár má i dceru?

Řešení

Přijdou tři logici do baru

Přijdou tři logici do baru a když je barman osloví otázkou "Všichni pivo, pánové?", první ihned odpoví: "Nevím". Druhý také hned řekne: "Nevím". Třetí se po chvilce přemýšlení rozzáří a řekne: "Ano". Asi jste se někdy setkali se situací, kdy na dotaz typu "Půjdeme do kina nebo zůstaneme doma?" partner odpoví "Ano!" a tázajícího uvede do rozpaků nebo ho přímo rozčílí. Barman však nezaváhal a splnil objednávku. Co hostům nalil a proč?

Řešení

Falešné mince

Král se dozvěděl, že se ho mincmistr pokusil ošidit a vyrobil celý pytel mincí, které váží o 1 gram méně než předepsaných 10 gramů. Nechal z mincovny přinést všechny pytle s vyrobenými mincemi, předvolal si mincmistra a řekl mu, že když nedokáže jedním vážením zjistit, v kterém pytli jsou ty lehčí mince, bude popraven. Jak si mincmistr zachrání život?

Řešení

Trik se třemi kartami

Představte si, že vás někdo vyzve, abyste si s ním zahráli následující hru. Ukáže vám tři speciální dvoustranné karty. Jedna má na obou stranách pik, druhá má na jedné straně pik a na druhé káro, třetí má na obou stranách káro: Pak ty karty zamíchá v klobouku a požádá, abyste jednu kartu vytáhli a položili ji na stůl tak, aby nikdo z vás neviděl její druhou stranu. Pak vám nabídne sázku, že na druhé straně je stejná barva. Aby podpořil vaši chuť si vsadit, předloží úvahu, že ta karta nemůže mít piky na obou stranách, takže je to buď karta s pikem a kárem nebo se dvěma káry. Jedna z nich má na rubu pik, druhá káro, takže šance jsou vyrovnané. Vsadíte si?

Řešení

Čaj s mlékem

Mám dvě stejné sklenice, jedna je zčásti naplněna čajem, druhá obsahuje stejné množství mléka. Ze sklenice s mlékem odleju trochu do sklenice s čajem a zamíchám. Pak odleju ze směsi čaje s mlékem do sklenice s mlékem tolik, aby v obou sklenicích bylo stejné množství tekutiny. V první sklenici je tedy čaj zředěn mlékem, ve druhé sklenici je mléko zředěno čajem. Je v první sklenici více mléka než čaje ve druhé sklenici, nebo je naopak ve druhé sklenici více čaje než mléka v první?

Řešení

Černé a bílé čepičky

Učitel matematiky procvičuje logické myšlení. Vyvolá tři žáky a ukáže jim tři černé a dvě bílé čepičky. Pak jim řekne, aby zavřeli oči, nasadí každému jednu čepičku na hlavu a zbývající dvě schová. Pak je vyzve, aby otevřeli oči a řekli, jakou barvu má čepička na jejich vlastní hlavě. Po chvíli uvažování jeden z nich zvedne ruku a oznámí barvu své čepičky. Jakou barvu měla jeho čepička a jak na to přišel?

Řešení

Dva prstence

Z hliníkové koule o průměru 20 mm uděláme prstenec tak, že do ní přesně jejím středem vyvrtáme otvor takovým způsobem, aby výška prstence byla 10 mm. Pak stejným způsobem uděláme prstenec o výšce 10 mm z hliníkové koule o průměru 40 mm. Který z prstenců bude vážit víc?

Řešení

Jak rozlámat tabulku čokolády?

Tabulka čokolády se skládá ze $4 \cdot 6 = 24$ čtverečků. Pokud ji chcete úplně rozdělit na 24 samostatných čtverečků, můžete postupovat různými způsoby. Například můžete nejprve pěti lomy vytvořit 6 čokoládových proužků po 4 kusech. Chcete-li získat jednotlivé čtverečky, musíte rozlomit každý z těchto proužků třikrát. Celkem uděláte $5 + 3 \cdot 6 = 23$ lomů. Je možné to zvládnout s méně než 23 lomy obratnějším postupem (bez toho, že byste lámali několik kusů čokolády najednou)?

Řešení

Barevné koule

U přijímacího pohovoru vám ukážou tři krabice. Řeknou vám, že v jedné krabici jsou jen zelené koule, ve druhé jsou jen modré koule a ve třetí jsou zelené i modré koule. Na jedné krabici je napsáno „zelené“, na druhé „modré“ a na třetí „zelené a modré“. Nápis ani na jedné krabici však neodpovídá obsahu. Máte za úkol určit, co je v které krabici, ale smíte sáhnout jen do jedné krabice a vytáhnout z ní jen jednu kouli. Dokážete to?

Řešení

Fotbal a narozeniny

Odhadovat pravděpodobnost nějakého jevu je často ošidné. Oblíbeným příkladem je otázka, s jakou pravděpodobností se v určité skupině lidí vyskytují dva, kteří mají narozeniny ve stejný den. Jak je tomu např. v případě dvou fobalových mužstev na hřišti? Vsadili byste si na to, že dva z hráčů mají narozeniny ve stejný den?

Řešení

Prodloužený provaz

a) Kolem válce o průměru 10 cm obtočíme provaz a vyznačíme na něm délku obvodu válce. Vezmeme provaz o 1 m delší a vytvoříme z něj kruh kolem válce tak, aby byl od válce všude ve stejné vzdálenosti. Jak daleko od válce provaz bude?
b) Představme si, že bychom totéž dokázali udělat se Zeměkoulí na rovníku. O kolik by se prodloužený provaz zvedl na zem? Podlezla by ho kočka?

Řešení

Spojování řetězu

Máte šest kusů řetězu, každý o pěti článcích. Jaký nejmenší počet článků je třeba rozříznout a opět svařit, abyste získali uzavřený kruhový řetěz o třiceti článcích?

Řešení

Hippokratovy měsíčky

Snad každý zná jméno velkého řeckého matematika Eukleida (asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l.), autora slavných Základů, nejúspěšnější knihy o matematice v historii. Méně je znám jeho předchůdce z 5. stol. př. n. l., Hippokratés z Chiu, který rovněž shrnul soudobé geometrické poznatky v knize Základy. Ta se téměř celá ztratila, informace o Hippokratově geometrii čerpáme především od jeho následovníků. Hippokratés je autorem pěkné úlohy, které se říká Hippokratovy měsíčky: Do půlkruhu vepišme pravoúhlý trojúhelník, jehož přeponou $c$ je průměr půlkruhu. (Podle Thaletovy věty leží třetí vrchol u pravého úhlu na oblouku půlkruhu.) Nad každou z odvěsen $a$, $b$ sestrojme půlkruh vně trojúhelníku. Tři půlkružnice vymezí dva Hippokratovy měsíčky. Určete velikost jejich celkové plochy. Hippokratés to dokázal před 2500 lety!

Řešení

10 loupežníků

Tlupa deseti loupežníků chce ukrýt uloupený poklad do truhlice. Protože si samozřejmě navzájem nedůvěřují, náčelník rozhodne, že se truhlice musí zajistit visacími zámky tak, aby se dala otevřít, jen když se u toho sejdou aspoň čtyři loupežníci. Kolik různých zámků na truhlici budou muset pověsit a kolik klíčů budou potřebovat?

Řešení

Na jih, na východ, na sever a zpět

Člověk vyrazí na jih, po jednom kilometru zahne na východ, po dalším kilometru zahne na sever a octne se ve výchozím bodu. Kde na Zemi je takový výchozí bod?

Řešení

O pomalejšího koně

Král zavolá své dva syny a oznámí jim, že království po něm převezme ten, jehož kůň urazí vzdálenost do sousedního města za delší dobu. Kralevicové sednou na své koně a záměrně je zadržují, aby jeden nepředběhl druhého. Brzy zjistí, že takhle do cíle nikdy nedojedou. Kolem jde mudrc a ptá se, proč se tváří tak zoufale. Když mu vysvětlí situaci, mudrc jim řekne, aby sesedli s koní, a chvíli s nimi rozmlouvá. Nato oba nasednou na koně, a co nejrychleji uhánějí k sousednímu městu. Co jim mudrc poradil?

Řešení

Káva s mlékem

Mám šálek černé kávy. Upiju z něj 1/6 a doleju mlékem. Upiju 1/3 a doleju mlékem. Upiju 1/2, doleju mlékem a vypiju celý šálek. Kolik kávy a kolik mléka jsem vypil?

Řešení

Dělení pozemku

K pozemku tvaru ostroúhlého trojúhelníku ABC vede přístupová cesta, která ústí v bodě P ležícím na straně AB, blíž k bodu B. Majitel chce pozemek rozdělit mezi dva syny tak, aby obě části měly stejný obsah, aby obě byly přístupné z přístupové cesty a aby dělicí hranice byla přímá. Hranice tedy bude tvořena úsečkou PQ, kde Q je vhodný bod na straně AC. Umíte najít polohu bodu Q konstrukcí bez výpočtu?

Řešení

Kdo rozbil okno?

Ve škole někdo rozbil okno. Školník zadržel čtyři chlapce, kteří v té době byli na dvoře. Tři z nich jsou notoričtí lháři, jen jeden mluví pravdu. Toto jsou jejich výpovědi:

Adam: "Já jsem okno nerozbil."
Béďa: "Adam lže."
Cyril: "Béďa lže."
David: "Okno rozbil Béďa."

Kdo z nich je pravdomluvný a kdo rozbil okno?

Řešení