Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Půlkruh v lichoběžníku

Lichoběžník $ABCD$ má tu vlastnost, že střed kružnice dotýkající se základny $BC$ a ramen $AB$, $CD$ leží na základně $CD$. Určete délku základny $|CD|=d$, jsou-li dány délky ramen $|AB|=a$, $|CD|=c$.

Řešení

1. řešení. Ke kružnici vedeme tečnu rovnoběžnou se základnou $BC$ a sestrojíme lichoběžník $EBCF$. V bodech $B$, $C$ vztyčíme výšky lichoběžníku $ABFE$.

Z podobnosti trojúhelníků plyne ${s\over r}={u\over 2r}$ a ${t\over r}={v\over 2r}$, tj. $u=2s$ a v=2t$. Protože čtyřúhelník $EBCF$ je tečnový, platí, že součty délek jeho protilehlých stran jsou stejné: $2a+2c=b+u+b+v$. Po dosazení za $u$ a $v$ dostaneme $2a+2c=2b+2s+2t$, tj. $b+s+t=a+c$. Odtud již plyne, že $d=s+b+t=a+c$.

2. řešení. Protože přímky $BC$ a $AD$ jsou rovnoběžné, platí $\beta_1=\beta_2$ a $\gamma_1=\gamma_2$, a tedy trojúhelníky $BSA$ a $SCD$ jsou rovnoramenné.

Dostáváme $d=a+c$.

3. řešení. Výška lichoběžníku $ABCD$ je rovna poloměru $r$ dané kružnice. Jeho obsah lze tedy vyjádřit jako $O={1\over2}(b+d)r$. Zároveň platí, že všechny tři trojúhelníky $ABS$, $BCS$ a $CDS$ mají výšku velikosti $r$. Obsah lichoběžníku lze tedy vyjádřit jako součet obsahů těchto tří trojúhelníků: $O={1\over2}ar+{1\over2}br+{1\over2}cr$.

Srovnáním obou vztahů dostáváme ${1\over2}r(b+d)={1\over2}r(a+b+c)$ a odtud již plyne $d=a+c$.