Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Hra s kuličkami
Zahrajme si následující hru. Ve velkém džbánu je 75 bílých a 150 černých kuliček. V misce vedle máme zásobu dalších černých kuliček. Pravidla hry jsou taková, že ze džbánu vždy náhodně vytáhneme dvě kuličky a postupujeme podle toho, jaké kuličky jsme vytáhli:
- (1) Jsou-li obě kuličky černé, jednu kuličku vrátíme a druhou dáme do misky.
- (2) Je-li jedna kulička černá a druhá bílá, černou kuličku dáme do misky a bílou vrátíme do džbánu.
- (3) Jsou-li obě kuličky bílé, dáme obě do misky a do džbánu přidáme jednu černou kuličku z misky.
Je vidět, že po každém kroku se celkový počet kuliček ve džbánu sníží o jednu, takže nakonec tam zbyde jen jedna. Na kterou barvu poslední kuličky si vsadíte?
Řešení
Počet čených kuliček se po každém kroku změní o jednu, a protože celkový počet kuliček se po každém kroku o jednu sníží, počet černých kuliček se postupně (byť nepravidelně) mění, až se sníží na 1 nebo 0. To nám však nepomůže, protože nevíme, kolik tam v dané chvíli zbývá bílých kuliček. Podívejme se tedy na počty bílých kuliček. V případech (1) a (2) se jejich počet ve džbánu nezmění, v případě (3) se sníží o dvě. A protože na začátku jich je 75, tj. lichý počet, lichý počet jich zůastává ve džbánu po každém kroku. Na konci hry, kdy ve džbánu nutně zůstane jen jedna kulička, ta poslední kulička musí být bílá.
Úloha pochází z Matematické olympiády v Austrálii v roce 1983.