Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Porota
Je třeba rozhodnout, který ze dvou soutěžících je lepší. K dispozici jsou dva porotci Karel a Lída, z nichž každý je natolik kvalifikovaný, že vítěze dokáže určit správně s pravděpodobností $p$. Aby byl vyloučen nerozhodný výsledek hlasování, přidají do poroty Martina, který však kvalifikovaně rozhodnout nedokáže, a proto si hodí korunou. Nebylo by v takovém případě lepší, kdyby o vítězi rozhodl Karel sám?
Řešení
Podívejme se na pravděpodobnost správného rozhodnutí tříčlenné poroty. O vítězi rozhodnou alespoň dva shodné hlasy. Pravděpodobnost toho, že se správně rozhodnou Karel i Lída, je $p\cdot p=p^2$. V tom případě už nezáleží na tom, jak dopadne Martinův hod mincí. Pravděpodobnost toho, že se dobře rozhodne Karel a špatně Lída, je $p\cdot(1-p),$ a se stejnou pravděpodobností rozhodne Karel špatně a Lída dobře. Pravděpodobnost toho, že jeden z dvojice Karel a Lída rozhodne dobře a jeden špatně, je tedy $2p(1-p).$ V tom případě s pravděpodobností $1\over2$ rozhodne Martinova mince a pravděpodobnost správného rozhodnutí poroty pak je $p\cdot(1-p)$. Daná tříčlenná porota tedy rozhodne správně s pravděpodobností $p^2+p(1-p)=p$. Se stejnou pravděpodobností by ovšem správně rozhodl i Karel sám.