Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Deset mincí

Máte deset mincí a víte, že aspoň jedna z nich je pravá. Některé z nich jsou však možná i falešné. Navíc víte, že všechny pravé mince váží stejně a všechny falešné mince váží stejně, jen nevíte, jestli jsou lehčí nebo težší než ty pravé. Máte také obyčejnou dvouramennou váhu. Vaším úkolem je co nejmenším počtem vážení zjistit, jestli jsou všechny mince pravé, nebo jestli mezi nimi je nějaká falešná.

Snadno se to provede čtyřmi váženími: Porovnáme první dvě mince. Pokud jsou stejné, dáme obě mince na jednu misku a na druhou misku dáme další dvě. Jsou-li opět všechny stejné, dáme na jednu misku čtyři dosud zvážené mince a na druhou další čtyři mince. Jsou-li opět všechny stejné, porovnáme zbývající dvě mince se dvěma zváženými.

Existuje způsob, jak to provést jen třemi váženími?

Řešení

Označme mince písmeny $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$, $i$, $j$. Při prvním vážení položíme na jednu misku mince $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ a na druhou $f$, $g$, $h$, $i$, $j$. Budou-li misky v rovnováze (v opačném případě již víme, že některá z vážených mincí je falešná), ve druhém vážení položíme na jednu misku mince $g$, $h$, $i$, $j$ a na druhou mince $f$, $c$, $d$, $e$. Budou-li i nyní misky v rovnováze, při třetím vážení porovnáme mince $f$, $a$, $b$  mincemi $c$, $d$, $e$.

Budou-li misky v rovnováze i ve třetím vážení, podíváme se na první dvě vážení. Z nich pro váhy mincí plyne $v_a+v_b+v_c+v_d+v_e+v_g+v_h+v_i+v_j=v_f+v_g+v_h+v_i+v_j+v_f+v_c+v_d+v_e$, tj. $v_a+v_b=2v_f$. Kdyby mince $a$, $b$ nevážily stejně, byla by váha mince $f$ průměrem vah mincí $a$, $b$. Měli bychom tedy tři rozdílné váhy mincí, což zadání vylučuje. Mince $a$, $b$ a $f$ tedy váží stejně. Z třetího vážení pak plyne, že i mince $c$, $d$, $e$ mají stejnou váhu. Všechny mince tedy váží stejně a všechny jsou pravé.