Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Dva rovnoběžníky

V rovině jsou dány dva rovnoběžníky

$ABCD$ ,

$AEFG$ , o kterých víme jen to, že bod

$E$ leží uvnitř strany

$CD$ a bod

$B$ leží uvnitř strany

$EF$ .

Co můžeme říci o vztahu obsahů obou rovnoběžníků?

Řešení

Úlohu snadno vyřešíme bez složitých výpočtů. Spojme body

$B$ ,

$G$ úsečkou.

Trojúhelník

$ABG$ a rovnoběžník

$ABCD$ mají společnou základnu

$AB$ a stejnou výšku na tuto základnu. Obsah trojúhelníku

$ABG$ je proto roven polovině obsahu rovnoběžníku

$ABCD$ . Obdobně mají trojúhelník

$ABG$ a rovnoběžník

$AEFG$ společnou základnu

$AG$ a stejnou výšku na tuto základnu, a proto je obsah trojúhelníku

$ABG$ roven polovině obsahu rovnoběžníku

$AEFG$ . Oba rovnoběžníky tedy mají stejný obsah.