Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další zajímavé odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Dva rovnoběžníky

V rovině jsou dány dva rovnoběžníky $ABCD$, $AEFG$, o kterých víme jen to, že bod $E$ leží uvnitř strany $CD$ a bod $B$ leží uvnitř strany $EF$.

Co můžeme říci o vztahu obsahů obou rovnoběžníků?

Řešení

Úlohu snadno vyřešíme bez složitých výpočtů. Spojme body $B$, $G$ úsečkou.

Trojúhelník $ABG$ a rovnoběžník $ABCD$ mají společnou základnu $AB$ a stejnou výšku na tuto základnu. Obsah trojúhelníku $ABG$ je proto roven polovině obsahu rovnoběžníku $ABCD$. Obdobně mají trojúhelník $ABG$ a rovnoběžník $AEFG$ společnou základnu $AG$ a stejnou výšku na tuto základnu, a proto je obsah trojúhelníku $ABG$ roven polovině obsahu rovnoběžníku $AEFG$. Oba rovnoběžníky tedy mají stejný obsah.