Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Čísla jako součty
Přirozené číslo $3$ lze vyjádřit jako součet přirozených čísel čtyřmi různými způsoby, pokud rozlišujeme součty lišící se pořadím různých sčítanců: $3$, $2+1$, $1+2$, $1+1+1$. Kolika způsoby lze takto vyjádřit přirozené číslo $n$?
Řešení
Vyjádřeme číslo $n$ jako sled $n$ jedniček v řadě: $1\ 1\ 1\ \dots1$. Rozdělení čísla $n$ na součet přirozených čísel pak můžeme graficky vyjádřit tak, že do mezer mezi sousedními jedničkami vložíme nebo nevložíme oddělovač, např. $1\ 1\ |\ 1\ |\ 1\ 1\ 1\ |\ \underbrace{1\ \dots\ 1}_{n-6}$, tj. $n=2+1+3+n-6$ v tomto případě. Pro každou z $n-1$ mezer máme dvě možnosti. Celkem je tedy $2^{n-1}$ možností, jak sled $n$ jedniček rozdělit na skupiny, takže každé přirozené číslo $n$ lze vyjádřit $2^{n-1}$ způsoby jako součet přirozených čísel podle zadání.