Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Jak se má mladý goista rozhodnout?
Otec a jeho syn chodí do klubu hrát go. Otec chce syna povzbudit k dalšímu rozvoji v hře. Nabídne mu odměnu, když vyhraje alespoň dvě partie po sobě v sérii tří partií hraných střídavě proti otci a proti Adamovi, který je nejsilnějším hráčem v klubu, přičemž si může vybrat ze dvou možností: v první a třetí partii bude jeho soupeřem buď otec, nebo Petr. Kterou z nabízených možnosti si má syn vybrat?
Řešení
Na první pohled se zdá, že by syn měl odehrát více partií proti otci než proti Adamovi. Proti tomu stojí argument, že rozhodující význam má vítězství v prostřední partii, protože jinak nelze vyhrát dvě partie po sobě. Nezbývá, než porovnat pravděpodobnosti úspěchu v obou variantách.
Označíme $p_A$ pravděpodobnost výhry syna nad Adamem, $p_O$ pravděpodobnost výhry syna nad otcem a sestavíme tabulky možných výsledků s alespoň dvěma synovými vítězstvími v řadě a odpovídajících pravděpodobností ($+$ označuje synovo vítěství v partii proti příslušnému soupeři, $-$ označuje prohru):
| otec | Adam | otec | pravděpodobnost | | Adam | otec | Adam | pravděpodobnost |
| $+$ | $+$ | $+$ | $p_Op_Ap_O$ | | $+$ | $+$ | $+$ | $p_Ap_Op_A$ |
| $+$ | $+$ | $-$ | $p_Op_A(1-p_O)$ | | $+$ | $+$ | $-$ | $p_Ap_O(1-p_A)$ |
| $-$ | $+$ | $+$ | $(1-p_O)p_Ap_O$ | | $-$ | $+$ | $+$ | $(1-p_A)p_Op_A$ |
Součet pravděpodobností v prvním případě je $p_Op_A(2-p_O)$, ve druhém případě $p_Op_A(2-p_A)$. Protože zřejmě platí $p_O>p_A$, je druhá varianta výhodnější. Výhra v prostřední partii převáží nebýhodu dvou partií proti silnějšímu hráči.