Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Barevné tětivy

Na kružnici zvolíme 6 různých bodů a každé dva spojíme modrou nebo červenou úsečkou tak, že vznikne právě jeden červený a právě jeden modrý trojúhelník. Např. takto:
Dokažte, že červených úseček je vždy 7, nebo 8.

Řešení

Vrcholy červeného trojúhelníku označíme 1, 2, 3 a zbývající vrcholy 4, 5, 6.
Trojúhelník s vrcholy v bodech 4, 5, 6 není červený, má tedy aspoň jednu modrou stranu. Z každého vrcholu 4, 5, 6 vedou tři úsečky do bodů 1, 2, 3. Alespoň dvě z nich vždy musejí být modré, protože jinak by vznikl další červený trojúhelník. Modrých úseček je tedy alespoň $1+3\cdot2=7$. Zopakujeme-li úvahu pro modrý trojúhelník, dojdeme k závěru, že modrých úseček je také alespoň $7$. Všech úseček dorhomady je $15$. Červených ani modrých tedy nemůže být víc než $8$.