Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Jak vyrobit kruhovou desku

Truhlář dostal zvláštní zakázku: ze dvou desek tvaru na obrázku vyrobit jednu velkou kruhou desku na stůl. Desky mají uprostřed otvor ohraničený dvěma čtvrtkruhy o poloměru $r$, které v krajních bodech svírají pravý úhel, a jejich obvod je tvořen křivkou, jejíž každý bod má od středového otvoru vzdálenost $r$.

Z těchto dvou desk má vyrobit co největší kruhovou desku. Jak to udělá?

Řešení

Vnější okraj desky je tvořen čtyřmi čtvrtkruhy: dva mají středy v „rozích“ vnitřního otvoru a poloměr $r$, středy dvou ostatních splývají se středy čtvrtkruhů tvořících okraje vnitřního otvoru a poloměr $2r$. Desku je tedy možné rozřezat na čtyři díly řezy v rozích“ vnitřního otvoru vedenými ve směru tečném/kolmém k obloukům.

Každá deska se tak rozřeže na čtyři díly, které lze sestavit do kruhové desky o poloměru $2r$:

Protože nezbyl žádný odřezek, je to největší kruhová deska, kterou lze takto vyrobit.