Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Mnohostěn

Tato úloha vyžaduje jistou prostorovou představivost. Úkolem je najít nejmenší přirozené číslo $n$ takové, že v prostoru existuje konvexní mnohostěn s těmito vlastnostmi:
  1. (1) Mnohostěn má $n$ hran.
  2. (2) Mnohostěn má alespoň $10$ vrcholů.
  3. (3) Každé dva vrcholy mnohostěnu lze propojit alespoň čtyřmi cestami, z nichž žádné dvě nemají žádné společné vrcholy kromě počátku a konce.
Úloha byla zařazena do prvního kola 39. ročníku Matematické olympiády v kategorii pro studenty středních škol.

Řešení

Z podmínky (3) plyne, že z každého vrcholu musí vycházet alespoň čtyři hrany. Označme počet vrcholů mnohostěnu $v$. Podle podmínky (2) je $v\ge 10$. Protože každá hrana spojuje dva vrcholy, máme odhad $2v\le n$. Celkem tedy $n\ge 20$. Teď přijde na řadu prostorová představivost. Pokud najdeme mnohostěn požadovaných vlastností, pro který platí $n=20$, jsme hotovi. Vyjdeme-li ze dvou různých bodů $A$, $B$ v prostoru, pak čtyři různé cesty splňující podmínku (3) mohou vypadat takto:

Doplníme-li hrany $CE$, $EI$, $IG$, $GC$, $DF$, $FJ$, $JH$, $HD$, získáme mnohostěn požadovaných vlasností.

Hledané nejmenší přirozené číslo $n$ je tedy skutečně $20$.