Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Počítání vlasů v Zapadlé Lhotě
V jedné
z úloh jsme "počítali" vlasy Pražanů. V Zapadlé Lhotě je trochu složitější situace.
- Žádní dva obyvatelé Zapadlé Lhoty nemají na hlavě přesně stejný počet vlasů.
- Počet obyvatel Zapadlé Lhoty je větší než počet vlasů na hlavě kteréhokoli z jejích obyvatel.
- Žádný z obyvatel Zapadlé Lhoty nemá na hlavě přesně $99$ vlasů.
Jaký je největší možný počet obyvatel Zapadlé Lhoty? Je někdo v Zapadlé Lhotě holohlavý?
Řešení
Správná odpověď je $99$. Označme $n$ počet obyvatel Zapadlé Lhoty. Podle druhé podmínky nikdo z nich nemá na hlavě víc než $n-1$ vlasů. Podle první podmínky má každý obyvatel jiný počet vlasů. Celých čísel od $0$ do $n-1$ je přesně $n$, každé z nich tedy musí odpovídat počtu vlasů některého z obyvatel. Kdyby tedy $n$ bylo větší než $99$, některé z čísel od $0$ do $n-1$ by muselo být $99$, což vylučuje třetí podmínka. Nemůže tedy být $n>99$. A protože pro navzájem různé počty vlasů $n$ obyvatel potřebujeme $n$ různých celých čísel menších než $n$, nemůžeme z nich vynechat nulu. Jeden z obyvatel Zapadlé Lhoty je tedy holohlavý.