Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Menelaova věta

Menelaos z Alexandrie (asi 70–140 n. l.) byl řecký matematik a astronom. Byl prvním, kdo definoval sférický trojúhelník (geometrický útvar na povrchu koule určený třemi hlavními kružnicemi; na kulovém glóbu ho např. tvoří dva poledníky a rovník). Připisuje se mu následující věta. V rovině je dán trojúhelník $ABC$ a tři body $P$, $Q$, $R$ ležící na přímkách $BC$, $AC$ a $AB$. Jestliže tyto body leží na téže přímce, pak platí ${AR\over RB}\cdot{BP\over PC}\cdot{CQ\over QA}=-1$, kde $XY\over YZ$ označuje podíl délek úseček $XY$ a $YZ$ se znaménkem plus, je-li bod $Y$ mezi body $X$, $Z$, a v opačném případě se znaménkem minus. Mohou nastat dva případy podle toho, jestli přímka $PR$ protíná trojúhelník $ABC$

nebo ne

Menelaos uměl větu dokázat před dvěma tisíci lety. Umíte to také?

Řešení

Označme $D$ průsečík rovnoběžky s přímkou $AC$ vedenou bodem $B$ a přímky $PR$.

Z podobnosti trojúhelníků $BRD$ a $ARQ$ plyne ${|BD|\over|QA|}={|RB|\over|AR|}$ a z podobnosti trojúhelníků $DPB$ a $QPC$ plyne ${|BD|\over|CQ|}={|BP|\over|PC|}$. Odtud dostáváme $|BD|={|QA|\cdot|RB|\over|AR|}={|CQ|\cdot|BP|\over|PC|}$, tj. ${|AR|\over|RB|}\cdot{|BP|\over|PC|}\cdot{|CQ|\over|QA|}=1$. Přiřadíme-li jednotlivým podílům znaménka podle vzájemné polohy bodů dle zadání, bude výraz ${AR\over RB}$ se znaménkem mínus a výrazy ${BP\over PC}$, ${CQ\over QA}$ se znaménkem plus, takže dostaneme ${AR\over RB}\cdot{BP\over PC}\cdot{CQ\over QA}=-1$. Zcela stejně postupujeme ve druhém případě: