Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Rovnoběžník a čtverce

Ke každé straně rovnoběžníku $ABCD$ je sestrojen čtverec:

Dokažte, že středy těchto čtverců tvoří vrcholy dalšího čtverce a že se úhlopříčky rovnoběžníku $ABCD$ a čtverce $KLMN$ protínají v jediném bodě.

Řešení

Protože strany $AB$ a $CD$ mají stejnou délku, jsou čtverce nad těmito stranami shodné a platí $|DM|=|AK|$. Obdobně zjistíme, že platí $|ND|=|NA|$. Protože $ABCD$ je rovnoběžník, součet velikostí úhlů $DAB$ a $CDA$ je $180^\circ$. Úhly $BAK$, $NAD$, $NDY$ a $XDM$ mají velikost $45^\circ$. Z toho plyne, že součet velikostí úhlů $CDA$ a $YDX$ je $180^\circ$, takže úhly $YDX$ a $DAB$ jsou shodné. Shodné jsou tedy i úhly $NAK$ a $NDM$. Trojúhelníky $NDM$ a $NAK$ jsou tedy shodné a platí $|NM|=|NK|$. Zopakujeme-li stejnou úvahu pro další strany čtyřúhelníku $KLMN$, dostaneme $|NM|=|NK|=|KL|=|LM|$. Čtyřúhelník $KLMN$ je tedy kosočtverec. Protože úhly $YDX$ a $DAB$ jsou shodné a úhly $MND$, $KNA$ jsou také shodné, má úhel $MNK$ stejnou velikost jako úhel $DNA$, tj. $90^\circ$. Obdobnou úvahou zjistíme, že úhel $NLK$ je pravý. Čtyřúhelník $KLMN$ je tedy čtverec.

Označme $O$ průsečík úhlopříček $KM$ a $BD$. Protože jsou přínky $AB$, $CD$ rovnoběžné, jsou úhly $CDB$, $ABD$ shodné. Shodné jsou tedy i úhly $MDO$, $KBO$, a protože shodné jsou i úhly $DOM$ a $BOK$ a $|DM|=|BK|$, jsou trojúhelníky $KBO$, $MDO$ shodné a bod $O$ je středem úhlopříček $KM$ a $BD$. Stejným bodem tedy musejí procházet i úhlopříčky $LN$ a $AC$.