Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Volební průzkum
V obci probíhají volby starosty, do kterých byli nominováni čtyři kandidáti: Anna, Břetislav, Cyril a Dorota. Všichni jsou napjatí, jak to dopadne, a tak místní kronikář dělá povolební průzkum tak, že každého z 250 voličů při východu nechá vyplnit dotazník se čtyřmi otázkami, na každou z nichž mají odpovědět buď "ano" nebo "ne":
Volil/a jste Annu?
Volil/a jste Břetislava?
Volil/a jste Cyrila?
Volil/a jste Dorotu?
Kronikář vyhodnotil obdržené odpovědi a zjistil, že na první otázku odpovědělo "ano" 90 lidí, na druhou otázku 100 a na třetí a čtvrtou otázku shodně po 80 lidech. Potíž je v tom, že o obyvatelích obce je známo, že každý z nich buď vždy mluví pravdu, nebo vždy lže. O výsledku volby se tedy kronikář z průzkumu nic nedozví. Zato může zjistit, kolik je mezi těmi 250 voliči lhářů. Víte, kolik jich je?
Řešení
Celkový počet obdržených odpovědí "ano" je $90+100+80+80=350$. Každý pravdomluvný odpověděl právě jednou "ano", každý lhář odpověděl třikrát "ano". Celkový počet odpovědí "ano" je tedy také roven počtu pravdomluvných a trojnásobku počtu lhářů. Součet počtu pravdomluvných a počtu lhářů je 250. Rozdíl $350-250=100$ odpovídá dvojnásobku počtu lhářů. Těch je tudíž 50.