Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Kolik zbylo na sestru?
Dva bratři se rozhodli prodat svou sbírku plastových autiček. Za celou sbírku dostali tolik peněz, že na jedno autičko v průměru připadlo tolik korun, jako byl počet všech autíček ve sbírce. Dohodli se na následujícím dělení zisku. Starší bratr si vezme 10 Kč, pak si mladší bratr vezme 10 Kč, pak si opět starší vezme 10 Kč, atd. Případný zbytek (menší než 10 Kč) věnují své sestře. Dopadlo to tak, že poslední desetikorunu si vzal starší bratr. Kolik korun dostala sestra?
Řešení
Označme $n$ počet autíček ve sbírce. Jedno autíčko tedy vyneslo v průměru $n$ Kč a za celou sbírku bratři dostali $n^2$ Kč. Protože starší bratr dostal o desetikorunu víc než mladší bratr, číslo $n^2$ při dělení dvaceti musí dát zbytek, který je alespoň 10 a nejvýše 19. Číslo $n$ můžeme vyjádřit ve tvaru $n=10a+b$, kde $a$, $b$ jsou celá nezáporná čísla a $0\le b\le 9$. Cena za celou sbírku je tedy $n^2=(10a+b)^2=100a+20b+b^2$. Výraz $100a+20b$ je dělitelný dvaceti, takže o velikosti zbytku při dělení dvaceti rozhoduje jen číslo $b^2$. Protože tento zbytek má být alespoň 10 a nejvýše 19, snadno zjistíme, že v úvahu přicházi jen $b=4$ nebo $b=6$. V obou případech zbytek při dělení $b^2$ dvaceti je 16. Sestra tedy dostala 6 Kč.