Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Druhá odmocnina ze dvou není racionální číslo
Racionální číslo je reálné číslo, které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Již ve starověku bylo známo, že odmocnina ze dvou není racionální číslo. Umíte to dokázat?
Řešení
Důkaz snadno provedeme sporem. Budeme předpokládat, že odmocnina ze dvou je racionální číslo, a z tohoto předpokladu odvodíme nepravdivý závěr. Nechť tedy platí $\sqrt2={m\over n}$, kde $m$, $n$ jsou celá čísla. Můžeme zároveň předpokládat, že čísla $m$, $n$ jsou kladná a nesoudělná. Kdyby měla společného dělitele, např. $k$, platilo by $m=km_1$, $n=kn_1$, tj. $\sqrt2={km_1\over kn_2}={m_1\over n_2}$, přičemž $m>m_1$ a $n>n_1$. Kdyby ani $m_1$, $n_1$ nebyla nesoudělná, budeme pokračovat stejně dále. Postupně bychom tak dostali $\sqrt2={km_1\over kn_1}={m_1\over n_1}={km_2\over kn_2}={m_2\over n_2=\dots}$. Protože je $m>m_1>m_2>\dots\ge1$, dospějeme tak po konečném počtu kroků k podílu dvou nesoudělných celých čísel. Nechť tedy $\sqrt2={m\over n}$, kde $m$, $n$ jsou celá kladná
nesoudělná čísla. Pak $2={m^2\over n^2}$, tj. $2n^2=m^2$. Číslo $m^2$ je tedy sudé, a tedy i $m$ musí být sudé, tj. $m=2p$, kde $p$ je celé číslo. Platí tedy $2n^2=(2p)^2$, tj. $n^2=2p^2$, takže i číslo $n$ musí být sudé. Z předpokladu, že $\sqrt2={m\over n}$, kde $m$ a $n$ jsou nesoudělná, jsme odvodili, že $m$ a $n$ jsou dělitelná $2$. Náš předpoklad, že $\sqrt2$ lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel, tedy byl nutně nepravdivý.