Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Čtvrkruh a polokružnice
Je dán čtvrtkruh a do něj jsou vepsány dva polokružnice, jejichž průměry splývají s poloměry daného čtvrtkruhu:
Polokružnice ve čtvrtkruhu vytínají dva obrazce, které jsou na obrázku vybarveny červeně a modře. Dokažte, že mají stejný obsah.
Autorem této úlohy je japonský tvůrce matematických hlavolamů Kobon Fujimura.
Řešení
Označme $P_c$ obsah červeně vybarveného obrazce a $P_m$ obsah modře vybarveného obrazce. Poloměr čtvrtkruhu označíme $r$. Obsah čtvrtkruhu je $P_1={1\over4}\pi r^2$. Půlkruh uvnitř má poloviční poloměr, takže jeho obsah je $P_2={1\over2}\pi ({r\over2})^2={1\over8}\pi r^2$. Abychom získali velikost obsahu modře vybarveného obrazce, odečteme od obsahu čtvrtkruhu obsahy obou půlkruhů, ale musíme k tomu ještě přičíst obsah červeně vybarveného obrazce, protože jsme ho odečetli dvakrát. To znamená $P_m=P_1-2P_2+P_c$. A protože $P_1-2P_2={1\over4}\pi r^2-2\cdot {1\over8}\pi r^2=0$, platí $P_m=P_c$.
