Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Čarování s čísly
Tohle už vážně vypadá jako čarování. Kouzelník s čísly předá divákovi kartu s deseti řádky očíslovanými od 1 do 10. Otočí se k němu zády a požádá ho, aby do prvních dvou řádků zapsal nějaká dvě celá čísla mezi 1 a 20 a pak do každého dalšího řádku zapsal součet čísel z předchozích dvou řádků. Pak si nechá kartu ukázat a požádá diváka, aby sečetl všech deset zapsaných čísel. Karta vypadá třeba takto:
| 1 | | 13 |
| 2 | | 4 |
| 3 | | 17 |
| 4 | | 21 |
| 5 | | 38 |
| 6 | | 59 |
| 7 | | 97 |
| 8 | | 156 |
| 9 | | 253 |
| 10 | | 409 |
Zatímco divák počítá (smí použít i na kalkulačku), kouzelník vysloví součet 1067. Překvapený divák výsledek potvrdí. Přijdete na to, v čem spočívá trik?
Řešení
Trik musí fungovat s každou dvojící čísel, která divák zapíše do prvních dvou řádků. Označme je tedy obecně $a$, $b$. Čisla doplněná na kartě pak mají následující tvar:
| 1 | | $a$ |
| 2 | | $b$ |
| 3 | | $a+b$ |
| 4 | | $a+2b$ |
| 5 | | $2a+3b$ |
| 6 | | $3a+5b$ |
| 7 | | $5a+8b$ |
| 8 | | $8a+13b$ |
| 9 | | $13a+21b$ |
| 10 | | $21a+34b$ |
Součet všech deseti čísel v pravém sloupci je $55a+88b$. Všimnete si v tabulce něčeho zajímavého? Ovšem, součet je jedenáctinásobkem čísla na sedmém řádku. Kouzelníkovi stačí podívat se na číslo na sedmém řádku. Vynásobit ho z hlavy jedenácti je hračka. Předpokladem úspěšnosti tohoto triku samozřejmě je to, že divák neudělá chybu. Omezení velikosti prvních dvou čísel mezi 1 a 20 je jen z praktických důvodů. Příliš velká čísla zvyšují riziko, že divák nebo i kouzelník udělají chybu.