Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Fotbal a narozeniny
Odhadovat pravděpodobnost nějakého jevu je často ošidné. Oblíbeným příkladem je otázka, s jakou pravděpodobností se v určité skupině lidí vyskytují dva, kteří mají narozeniny ve stejný den. Jak je tomu např. v případě dvou fobalových mužstev na hřišti? Vsadili byste si na to, že dva z hráčů mají narozeniny ve stejný den?
Řešení
Chceme zjistit, s jakou pravděpodobností se ve skupině 22 lidí vyskytují dva, kteří mají narozeniny ve stejný den. Uvažujme nepřestupný rok, který má 365 dní. Existuje mnoho možností: všech 22 hráčů má narozeniny ve stejný den, 21 hráčů má narozeniny ve stejný den, 20 hráčů má narozeniny ve stejný den, atd. až 2 hráči mají narozeniny ve stejný den. To by bylo velmi pracné, proto si pomůžeme trikem, který se při výpočtu pravděpodobnosti často používá: vypočítáme pravděpodobnost toho, že každý z 22 hráčů má narozeniny v jiný den. Hledaná pravděpodobnost pak bude doplňkem do 100 %.
Vezmeme prvního hráče. Ten má narozeniny v určitý den. Druhý hráč má narozeniny v jiný den, pro něj tedy zbývá 364 možnostíí v roce. Pravděpodobnost, že ti první dva nemají narozeniny ve stejný den, je tedy $364\over365$. Pro narozeniny třetího hráče zbývá 363 možností. Pravděpodobnost, že první tři hráči nemají narozeniny ve stejný den, je tedy ${364\over365}\cdot {344\over365}$. Takto pokračujeme dále, až dojdeme k 22. hráči, pro jehož narozeniny zbývá $365-21=344$ dosud neobsazených dnů. Pravděpodobnost, že každý z 22 hráčů má narozeniny v jiný den, je tedy ${364\over365}\cdot {364\over365}\cdot {363\over365}\cdot {\dots} \cdot{344\over365}\approx 0,524$. Pravděpodobnost toho, že dva z 22 hráčů mají narozeniny ve stejný den, je tudíž přibližně 47,6 %.
To je překvapivě velká pravděpodobnost. Když k těm 22 hráčům přidáme ještě hlavního rozhodčího, pravděpodobnost toho, že dvě osoby mají narozeniny ve stejný den, bude 50,2. Na večírku s 30 osobami už stojí za to se vsadit; šance na výhru bude 75 %.