Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Hledá se prvočíslo

Pro které prvočíslo

$p$ je

$2p+1$ třetí mocninou nějakého přirozeného čísla?

Řešení

Hledáme provčíslo

$p$ takové, že

$2p+1=n^3$ pro nějaké přirozené číslo

$n$ . Číslo

$2p+1$ je liché, je tedy liché i

$n$ . Navíc

$n>1$ , takže

$n=2k+1$ pro nějaké přirozené číslo

$k>1$ . Můžeme tedy psát

$2p=n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)=2k(4k^2+4k+1+2k+1+1)$ , tj.

$p=k(4k^2+6k+3)$ . Protože každé prvočíslo je dělitelné jen číslem

$1$ a sebou samým, musí být

$k=1$ , a tedy

$p=4+6+3=13$ . Číslo

$13$ je jediným prvočíslem splňujícím podmínku úlohy,

$2\cdot13+1=27=3^3$ .
Úloha byla zařazena do prvního kola 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii Z pro žáky základních škol.