Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Oříšky v čokoládě
Eva je doma v karanténě a snaží se dohnat zameškanou látku ze školy. Mlsá při tom oříšky obalené v černé a bílé v čokoládě. Protože právě studuje pravděposodobnost, napadají ji otázky:
- (1) Je možné, že s pravděpodobností přesně 12 budou první dva oříšky bílé?
- (2) Jaký nejmenší počet oříšků v pytlíku musí být, aby taková situace mohla nastat?
- (3) Jaký nejmenší počet oříšků v pytlíku musí být, aby taková situace mohla nastat, je-li v něm sudý počet černých oříšků?
Řešení
Odpověď bychom mohli hledat metodou pokus–omyl, zkusit nejprve jeden černý oříšek a postupně ho kombinovat s různými počty bílých, atd. Jednoduchou matematickou úvahou však dostaneme rychle a s jistotou odpověď na všechny tři otázky. Označme
b počet bílých a
c počet černých oříšků v pytlíku. Pravděpodobnost toho, že první vytažený oříšek bude bílý, je rovna
bb+c. Pravděpodobnost toho, že druhý vytažený oříšek bude bílý, je rovna
b−1b−1+c. Pravděpodobnost toho, že první i druhý vytažený oříšek bude bílý, je rovna součinu obou pravděpodobností. Otázka tedy zní, za jakých podmínek
bb+c⋅b−1b−1+c=12. Jednoduchou úpravou dojdeme ke kvadratické rovnici
b2−(2c+1)b+c−c2=0, která má kořeny
b1,2=2c+1±√8c2+12. Protože počet bílých i černých oříšků musí být kladný (jinak by pravděpodobnost vytažení dvojice bílých oříšků byla buď
0, nebo
1), snadnou úpravou ověříme, že
√8c2+1>2c+1, takže vyhovuje jen kořen
b1. Musí tedy platit
2b=2c+1+√8c2+1 a číslo
√8c2+1 musí být celé. Nejmenší kladné celé číslo
c, které to splňuje, je
c=1. Pak
b=3 a skutečně platí
bb+c⋅b−1b−1+c=12. Má-li být
c sudé, rychle ověříme, že nejmenší vyhovující číslo je
c=6 a tomu odpovídá
b=15. Odpověď na otázku (1) je ano, odpověď na otázku (2) je
4 (tři bílé a jeden černý), odpověď na otázku (3) je
21 (
15 bílých a
6 černých).