Processing math: 100%

Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Oříšky v čokoládě

Eva je doma v karanténě a snaží se dohnat zameškanou látku ze školy. Mlsá při tom oříšky obalené v černé a bílé v čokoládě. Protože právě studuje pravděposodobnost, napadají ji otázky:
  1. (1) Je možné, že s pravděpodobností přesně 12 budou první dva oříšky bílé?
  2. (2) Jaký nejmenší počet oříšků v pytlíku musí být, aby taková situace mohla nastat?
  3. (3) Jaký nejmenší počet oříšků v pytlíku musí být, aby taková situace mohla nastat, je-li v něm sudý počet černých oříšků?

Řešení

Odpověď bychom mohli hledat metodou pokus–omyl, zkusit nejprve jeden černý oříšek a postupně ho kombinovat s různými počty bílých, atd. Jednoduchou matematickou úvahou však dostaneme rychle a s jistotou odpověď na všechny tři otázky. Označme b počet bílých a c počet černých oříšků v pytlíku. Pravděpodobnost toho, že první vytažený oříšek bude bílý, je rovna bb+c. Pravděpodobnost toho, že druhý vytažený oříšek bude bílý, je rovna b1b1+c. Pravděpodobnost toho, že první i druhý vytažený oříšek bude bílý, je rovna součinu obou pravděpodobností. Otázka tedy zní, za jakých podmínek bb+cb1b1+c=12. Jednoduchou úpravou dojdeme ke kvadratické rovnici b2(2c+1)b+cc2=0, která má kořeny b1,2=2c+1±8c2+12. Protože počet bílých i černých oříšků musí být kladný (jinak by pravděpodobnost vytažení dvojice bílých oříšků byla buď 0, nebo 1), snadnou úpravou ověříme, že 8c2+1>2c+1, takže vyhovuje jen kořen b1. Musí tedy platit 2b=2c+1+8c2+1 a číslo 8c2+1 musí být celé. Nejmenší kladné celé číslo c, které to splňuje, je c=1. Pak b=3 a skutečně platí bb+cb1b1+c=12. Má-li být c sudé, rychle ověříme, že nejmenší vyhovující číslo je c=6 a tomu odpovídá b=15. Odpověď na otázku (1) je ano, odpověď na otázku (2) je 4 (tři bílé a jeden černý), odpověď na otázku (3) je 21 (15 bílých a 6 černých).