Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Oříšky v čokoládě
Eva je doma v karanténě a snaží se dohnat zameškanou látku ze školy. Mlsá při tom oříšky obalené v černé a bílé v čokoládě. Protože právě studuje pravděposodobnost, napadají ji otázky:
- (1) Je možné, že s pravděpodobností přesně ${1\over2}$ budou první dva oříšky bílé?
- (2) Jaký nejmenší počet oříšků v pytlíku musí být, aby taková situace mohla nastat?
- (3) Jaký nejmenší počet oříšků v pytlíku musí být, aby taková situace mohla nastat, je-li v něm sudý počet černých oříšků?
Řešení
Odpověď bychom mohli hledat metodou pokus–omyl, zkusit nejprve jeden černý oříšek a postupně ho kombinovat s různými počty bílých, atd. Jednoduchou matematickou úvahou však dostaneme rychle a s jistotou odpověď na všechny tři otázky. Označme $b$ počet bílých a $c$ počet černých oříšků v pytlíku. Pravděpodobnost toho, že první vytažený oříšek bude bílý, je rovna $b\over{b+c}$. Pravděpodobnost toho, že druhý vytažený oříšek bude bílý, je rovna ${b-1}\over{b-1+c}$. Pravděpodobnost toho, že první i druhý vytažený oříšek bude bílý, je rovna součinu obou pravděpodobností. Otázka tedy zní, za jakých podmínek ${b\over{b+c}}\cdot{{b-1}\over{b-1+c}}={1\over2}$. Jednoduchou úpravou dojdeme ke kvadratické rovnici $b^2-(2c+1)b+c-c^2=0$, která má kořeny $b_{1,2}={2c+1\pm\sqrt{8c^2+1}\over2}$. Protože počet bílých i černých oříšků musí být kladný (jinak by pravděpodobnost vytažení dvojice bílých oříšků byla buď $0$, nebo $1$), snadnou úpravou ověříme, že $\sqrt{8c^2+1}>2c+1$, takže vyhovuje jen kořen $b_1$. Musí tedy platit $2b=2c+1+\sqrt{8c^2+1}$ a číslo $\sqrt{8c^2+1}$ musí být celé. Nejmenší kladné celé číslo $c$, které to splňuje, je $c=1$. Pak $b=3$ a skutečně platí ${b\over{b+c}}\cdot{{b-1}\over{b-1+c}}={1\over2}$. Má-li být $c$ sudé, rychle ověříme, že nejmenší vyhovující číslo je $c=6$ a tomu odpovídá $b=15$. Odpověď na otázku (1) je ano, odpověď na otázku (2) je $4$ (tři bílé a jeden černý), odpověď na otázku (3) je $21$ ($15$ bílých a $6$ černých).