Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Dva prstence

Z hliníkové koule o průměru 20 mm uděláme prstenec tak, že do ní přesně jejím středem vyvrtáme otvor takovým způsobem, aby výška prstence byla 10 mm. Pak stejným způsobem uděláme prstenec o výšce 10 mm z hliníkové koule o průměru 40 mm. Který z prstenců bude vážit víc?

Řešení

Protože obě koule byly ze stejného materiálu, stačí porovnat objemy obou prstenců, či ekvivalentně porovnat objemy polovin prstenců vzniklých rozříznutím prstenců v rovině kolmé k ose vrtu. Objem poloviny prstence pak bude rozdílem objemu kulové vrstvy a z ní odvrtaného válce.
Označíme-li $R$ poloměr koule, $r$ poloměr vrtu a $h$ polovinu výšky prstence, pak podle Pythagorovy věty platí $r^2=R^2-h^2$. Objem kulové vrstvy je $V_1={\pi h\over6}(3R^2+3r^2+h^2).$ Objem válce odvrtaného z této kulové vrstvy je $V_2=\pi r^2 h.$ Objem poloviny prstence pak je $V=V_1-V_2.$ Po dosazení z uvedených vztahů a po úpravě zjistíme, že $V={2\over 3} h^3.$ Objem poloviny prstence (a tedy objem celého prstence) závisí jen na jeho výšce, nikoli na poloměru koule, z níž byl vytvořen. Oba prstence tedy váží stejně.