Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Trojúhelníkový pozemek

K pozemku tvaru ostroúhlého trojúhelníku ABC vede přístupová cesta, která ústí v bodě P ležícím na straně AB, blíž k bodu B. Majitel chce pozemek rozdělit mezi dva syny tak, aby obě části měly stejný obsah, aby obě byly přístupné z přístupové cesty a aby dělicí hranice byla přímá. Hranice tedy bude tvořena úsečkou PQ, kde Q je vhodný bod na straně AC. Umíte najít polohu bodu Q konstrukcí bez výpočtu?

Řešení

Předvedeme jedno z možných řešení. Spojíme bod C se středem S strany AB. Tato úsečka dělí trojúhelník ABC na dvě části o stejném obsahu, ale bohužel nesplňuje podmínku přístupové cesty. Z bodu S vedeme rovnoběžku s přímkou PC. Její průsečík se stranou AC je hledaný bod Q. Trojúhelníky QSC a QSP mají stejné obsahy, protože mají společnou stranu QS a stejnou výšku danou vzdáleností rovnoběžek SQ a PC. Proto trojúhelník APQ má stejný obsah jako trojúhelník ASC, tj. polovinu obsahu trojúhelníku ABC.