Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
1. Vztah je symetrický, můžeme tedy předpokládat, že $a\le b$. Pak můžeme psát $a={ab\over b}={a+b\over b}={a\over b}+1$. Kdyby $a< b $, pak $0<{a\over b}<1$ a ${a\over b}+1$ by nebylo celé číslo. Musí tedy být $a=b$, a z toho plyne $a=b=2$.
2. Číslo $a$ samozřejmě dělí číslo $a(b-1)=ab-a$. Avšak $ab-a=a+b-a=b$. Číslo $a$ je tedy dělitelem čísla $b$. Protože vztah $a+b=ab$ je symetrický, plyne z toho zároveň, že číslo $b$ je dělitelem číslo $a$. To je však možné jen v případě, že $a=b$. Stejně jako v předchozím řešení dostáváme $a=b=2$. 3. Opět předpokládejme, že $a\le b$. Víme, že vztah platí pro $a=2$. Zkusme, zda může platit pro $a\ge3$. Pak bychom však měli $ab\ge3b>2b=b+b\ge ab$, což je spor. Je tedy $a\le2$, a protože $a=1$ zřejmě nevyhovuje, musí být $a=2$ a ze symetrie i $b=2$. 4. Ze vztahu $a+b=ab$ plyne $a(b-1)=b$. Protože $b=1$ zřejmě nevyhovuje, je $b>1$ a dostáváme $a={b\over b-1}=1+{1\over b-1}$. Poslední zlomek musí být celé číslo, což je možné jen, když $b-1=1$, tj. $b=2$. Ze symetrie plyne, že i $a=2$. 5. Poslední řešení je krásně přímočaré. Ze vztahu $a+b=ab$ postupnými úpravami dostaneme $ab-a-b=0$, $ab-a-b+1=1$, $(a-1)(b-1)=1$, a protože $a-1$, $b-1$, jsou celá čísla, musí nutně být $a-1=1$, $b-1=1$, $a=b=2$.