Úlohy pro zábavu i pro poučení
Rovnostranný trojúhelník ve čtverci
Ve čtverci $ABCD$ sestrojíme při straně $AB$ rovnoramenný trojúhelník $ABE$ s patnáctistupňovými úhly při vrcholech $A$, $B$.
Dokažte, že trojúhelník $ECD$ je rovnostranný.
Řešení
V této jednoduché úloze jsou zajímavé vztahy, které nabízejí různé přístupy k řešení. Ukážeme tři z nich. Protože je situace souměrná podle osy strany $AB$, stačí, když dokážeme, že $|DE|=|AB|$, nebo že úhel v trojúhelníku $ECD$ při vrcholu $D$ má velikost $60^\circ$.
Řešení 1
Z vrcholu $D$ spustíme kolmici na úsečku $AE$ a její patu označíme $F$.
Na úsečce $DF$ sestrojíme bod $G$ tak, aby úhel $GAE$ měl velikost $60^\circ$. Trojúhelník $ABH$, kde $H$ je průsečík přímek $AG$, $BE$, je pravoúhlý. Přímka $GA$ je tedy kolmá na přímku $EB$, a protože přímka $GD$ je kolmá na přímku $EA$, mají úhly $BEA$ a $AGD$ stejnou velikost $150^\circ$. Úhel $DAG$ má velikost $15^\circ$, stejnou velikost má tedy i úhel $GDA$. A protože $|AB|=|AD|$, jsou trojúhelníky $ABE$ a $DAG$ shodné, tj. $|AG|=|AE|$. Trojúhelník $AEG$ je tedy rovnostranný a bod $F$ je středem úsečky $AE$. Z toho plyne, že trojúhelníky $AFD$, $EFD$ jsou shodné, takže $|DE|=|DA|$. (Nebo také jinak: úhel $EDG$ je shodný s úhlem $GDA$, tj, má velikost $15^\circ$, takže úhel $CDE$ má velikost $60^\circ$.)
Řešení 2
Uvnitř čtverce $ABCD$ sestrojíme bod $F$ tak, že trojúhelníky $AFD$ a $ABE$ jsou shodné.
Je tedy $|AF|=|AE|$, a protože úhel $FAE$ má velikost $60^\circ$, je trojúhelník $AEF$ rovnostranný. Z toho plyne, že úhel $DFE$ má velikost $150^\circ$, a protože $|FD|=|FE|$, je trojúhelník $EDF$ rovnoramenný, takže úhel $EDF$ má velikost $15^\circ$. Z toho plyne, že úhel $CDE$ má velikost $60^\circ$. (Nebo také jinak: trojhúhelníky $AFD$, $DFE$ jsou shodné, takže $|DE|=|AD|$.)
Řešení 3
Sestrojíme rovnostranný trojúhelník $ABF$ tak, že bod $F$ leží vně čtverce.
Přímka $EF$ je kolmá ke straně $AB$, takže úhel $AFE$ má velikost $30^\circ$. Úhly $DAE$ a $EAF$ mají stejnou velikost $75^\circ$. Protože $|AD|=|AF|$, jsou trojúhelníky $AED$, $AEF$ shodné, takže úhel $EDA$ má stejnou velikost jako úhel $AFE$, tj. $30^\circ$. Úhel $CDE$ má tedy velikost $60^\circ$.
