Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Kružnice se dvěma středy

Péťu matematika baví, ale občas se ukvapí. Onehdá se přihlásil s objevem, že kružnice může mít dva různé středy. Nakreslil následující obrázek

a vysvětlil, jak na to přišel: Narýsujeme úhel $PQR$ a na jeho ramenech zvolíme body $A$ a $B$. Z bodu $A$ vedeme kolmici k přímce $QP$ a z bodu $B$ vedeme kolmici k přímce $QR$. Průsečík obou kolmic označíme $C$. Sestrojíme kružnici $k$ procházející body $A$, $B$ a $C$ a další průsečíky kružnice $k$ s přímkami $QP$, $QR$ označíme $K$, $L$. Podle Thaletovy věty přepony pravoúhlých trojúhelníků $KCA$ a $LCB$ musí být průměry kružnice $k$. Středy úseček $KC$ a $LC$ jsou tedy středy kružnice $k$. Kde udělal Péťa chybu?

Řešení

Chyba je v náčrtku řešení. Péťa se snažil zachytit obecnou situaci tak, že kružnice $k$ protne přímky $QP$, $QR$ v dalších dvou bodech, a poté na tento náčrtek aplikoval Thaletovu větu. Neuvědomil si, ža právě podle Thaletovy věty musí kružnice $k$ procházet bodem $Q$. Oba průměry na Péťově náčrtku pak splynou, a tak splynou i oba zdánlivě různé středy $S_1$ a $S_2$.
Při řešení konstrukčních geometrických úloh je třeba dbát na to, abychom se nevhodným náčrtkem nenechali svést k chybné úvaze.