Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Barevné vrcholy obdélníků

Rozdělme všechny body v rovině do dvou množin, tak že každý z nich patří právě do jedné z nich. Dokažte, že v rovině existuje obdélník, jehož všechny čtyři vrcholy patří do jedné z těchto množin.

Řešení

Pro snazší popis si můžeme si představit, že body z jedné množiny mají červenou barvu a body z druhé množiny mají modrou barvu, takže každý bod v rovině má červenou nebo modrou barvu. Zvolme v rovině přímku a na ní 7 různých bodů. Mezi nimi musí být nejméně čtyři body se stejnou barvou. Označme je

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$A_3$ ,

$A_4$ a nechť jejich barva je třeba červená. Vezměme dvě další přímky rovnoběžné s tou první a promítněme na ně kolmo body

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$A_3$ ,

$A_4$ . Průměty na jedné přímce označme

$B_1$ ,

$B_2$ ,

$B_3$ ,

$B_4$ a průměty na druhé přímce

$C_1$ ,

$C_2$ ,

$C_3$ ,

$C_4$ .

Jsou-li některé dva body

$B_i$ ,

$B_j$ červené, pak body

$B_i$ ,

$B_j$ ,

$A_j$ ,

$A_i$ jsou vrcholy obdélníku. Obdobně to platí pro body

$C_i$ . Pokud ani jedna z těchto možností nenastala, musí být nejméně tři z bodů

$B_i$ modré a nejméně tři z bodů

$C_i$ musí být také modré. Snadno zjistíme, že pak mezi modrými body

$B_i$ nutně existuje dvojice taková, že spolu s odpovídajícími modrými body

$C_i$ tvoří vrcholy obdélníku.