Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Barevné vrcholy obdélníků

Rozdělme všechny body v rovině do dvou množin, tak že každý z nich patří právě do jedné z nich. Dokažte, že v rovině existuje obdélník, jehož všechny čtyři vrcholy patří do jedné z těchto množin.

Řešení

Pro snazší popis si můžeme si představit, že body z jedné množiny mají červenou barvu a body z druhé množiny mají modrou barvu, takže každý bod v rovině má červenou nebo modrou barvu. Zvolme v rovině přímku a na ní 7 různých bodů. Mezi nimi musí být nejméně čtyři body se stejnou barvou. Označme je $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ a nechť jejich barva je třeba červená. Vezměme dvě další přímky rovnoběžné s tou první a promítněme na ně kolmo body $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$. Průměty na jedné přímce označme $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ a průměty na druhé přímce $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$.

Jsou-li některé dva body $B_i$, $B_j$ červené, pak body $B_i$, $B_j$, $A_j$, $A_i$ jsou vrcholy obdélníku. Obdobně to platí pro body $C_i$. Pokud ani jedna z těchto možností nenastala, musí být nejméně tři z bodů $B_i$ modré a nejméně tři z bodů $C_i$ musí být také modré. Snadno zjistíme, že pak mezi modrými body $B_i$ nutně existuje dvojice taková, že spolu s odpovídajícími modrými body $C_i$ tvoří vrcholy obdélníku.