Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Poslední dvě číslice čísla $11^{10}-1$

Umíte určit poslední dvě číslice čísla $11^{10}-1$? A uměli byste to v případě čísla $11^n-1$, kde $n\ge2$ je dané přirozené číslo?

Řešení

V případě čísla $11^{10}-1$ bychom mohli odpověď najít prostým násobením. To však není moc vtipné a v případě obecného exponentu $n$ by to nešlo. Vtipné řešení je založeno na rozkladu čísla $11$ na součet $10+1$ a na použití binomické věty: $(a+b)^n=a^n+\binom n1 a^{n-1}b+\binom n2 a^{n-2}b^2+\cdots+\binom n{n-2}a^2b^{n-2}+\binom n{n-1}ab^{n-1}+b^n$, kde $\binom nk={n!\over (n-k)!k!}$ je tzv. binomický koeficient nebo kombinační číslo. (Připomeňme, že $\binom nk$ je celé číslo, což snadno ověříme indukcí ze vztahu $\binom nk={n\over k}\binom {n-1}{k-1}$.) Můžeme tedy psát $11^n-1=(10+1)^n-1=10^n+\binom n1 10^{n-1}+\binom n2 10^{n-2}+\cdots+\binom n{n-2}10^2+\binom n{n-1}10+1-1=100(10^{n-2}+\binom n1 10^{n-3}+\cdots+\binom n{n-2})+n\cdot10$. Protože v závorce, před níž je vytknuto $100$, je součet celých čísel, ihned vidíme, že poslední číslice je $0$ a předposlední číslicí je poslední číslice čísla $n$. Konkrétně na posledních dvou místech čísla $11^{10}-1$ jsou tedy nuly.