Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Velká rodinná oslava
Rodina se sešla na oslavě narozenin babičky, která již bohužel nevidí, ale zachovala si své schopnosti vynikající počtářky. Sešlost se skládá z babičky a dědečka, dvou otců, dvou matek, čtyř dětí, tří vnoučat, bratra, dvou sester, dvou synů, dvou dcer, tchána, tchyně a snachy. Na babiččinu otázku, kolik lidí na oslavu přišlo, vnučka Anička, která zdědila nadání po babičce, odpoví šibalsky: "Babičko, pokud bys vzala libovolné dvojciferné číslo a třikrát ho zapsala za sebou, výsledné šestimístné číslo bude zcela jistě dělitelné počtem přítomných osob."
Jaký je nejmenší počet účastníků oslavy a proč je každé šestimístné číslo sestavené výše uvedeným způsobem dělitelné tímto nejmenším počtem?
Řešení
Vezměme libovolné dvojciferné číslo $n$. Výsledné šestimístné číslo vznikne tak, že k původnímu dvojcifernému číslu postupně přičteme $100n$ a $10000n$. Lze ho tedy vyjádřit jako součin původního čísla $n$ a čísla $10101$. Číslo $10101$ rozložíme na prvočíselné činitele: $10101=3\cdot7\cdot13\cdot37$. Naše šestimístné číslo je tedy dělitelné $3$, $7$, $13$ a $37$. Vzhledem k popisu rodinných vztahů se oslavy účastní víc než $3$ lidé. Snadno ověříme, že $7$ vyhovuje: na oslavě je babička s dědou, jejich syn, jeho žena (snacha babičky a dědy) a jejich tři děti, syn a dvě dcery. Otázka zněla na nejmenší počet účastníků oslavy. Nicméně na první pohled je zřejmé, že $37$ je příliš mnoho, a po troše úsilí zjistíme, že $13$ nevyhovuje zadání.