Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Kam postavit trafiku?

Tři ulice se protínají po dvou tak, že tvoří náměstí tvaru rovnostranného trojúhelníku. Trafikant by chtěl postavit svou trafiku na náměstí a domnívá se, že nejlepší poloha bude taková, aby součet vzdáleností trafiky od všech tří ulic byl nejmenší. Kam má svou trafiku umístit?

Řešení

Mohli bychom postupovat pomocí analytické geometrie např. tak, že umístíme počátek souřadnic do jednoho vrcholu trojúhelníku, osu $x$ do jedné z ulic, určíme souřadnice ostatních vrcholů trojúhelníku a budeme počítat vzdálenosti bodu $T$ o souřadnicích $(t_1,t_2)$ od přímek tvořících strany trojúhelníku. To by byl poměrně pracný výpočet. Existuje vtipnější a jednodušší řešení. Označme vrcholy trojúhelníku (rohy náměstí) $A$, $B$, $C$.

Vzdálenosti $d_1$, $d_2$ a $d_3$ bodu $T$ od jednotlivých stran trojúhelníku $ABC$ jsou výškami trojúhelníků $ABT$, $BCT$ a $CAT$. Součet obsahů těchto tří trojúhelníků je ${1\over2}ad_1+{1\over2}ad_2+{1\over2}ad_3={1\over2}a(d_1+d_2+d_3)$ a rovná se obsahu trojúhelníku $ABC$: ${1\over2}av$, kde $v$ je výška trojúhelníku $ABC$. Odtud plyne $d_1+d_2+d_3=v$. Součet vzdáleností trafiky od všech tří ulic je tedy vždy roven velikosti výšky trojúhelníku, který tvoří náměstí. Trafikant svou podmínku splní bez ohledu na to, kam na náměstí svou trafiku umístí.