Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Středy tří kružnic

Tři kružnice $k_1$, $k_2$, $k_3$ se středy v bodech $S_1$, $S_2$, $S_3$ se vzájemně dotýkají tak, jak je znázorněno na obrázku.

Dokážete určit velikost obvodu trojúhelníku $S_1S_2S_3$, znáte-li pouze poloměr $r_1$ kružnice $k_1$?

Řešení

Mohlo by se zdát, že zadání úlohy není dostatečné. Při pozornějším pohledu na obrázek však rychle najdeme řešení. Označíme-li $r_2$, $r_3$ polomery kružnic $k_2$, $k_3$, pak platí $|S_1S_2|=r_1-r_2$, $|S_1S_3|=r_1-r_3$ a $|S_2S_3|=r_2+r_3$ a obvod trojúhelníku $S_1S_2S_3$ má velikost $o=|S_1S_2|+|S_2S_3|+|S_1S_3|=r_1-r_2+r_2+r_3+r_1-r_3=2r_1$.