Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Utajené číslo

Mezi úlohami pro řešitele Matematické olympiády v Německu v roce 2010 se v oblastním kole objevila následující úloha. (Šlo o druhé kolo ze čtyř, obtížnost úloh byla ještě poměrně nízká.) Čtyři kamarádi, Alena, Bára, Cyril a David se dohodli na určitém čísle, zapsali ho na papír. Každý z nich o tom čísle vyslovil dva výroky, z nichž vždy jeden je pravdivý a druhý nepravdivý. Výroky, označené počátečními písmeny jejich jmen, zněly takto:

A1: "Číslo je trojciferné."
A2: "Součin všech jeho číslic je $23$."
B1: "Číslo je dělitelné $37$."
B2: "V zápisu čísla se vyskytují tři stejné číslice."
C1: "Číslo je dělitelné $11$."
C2: "Na posledním místě je číslice $0$."
D1: "Ciferný součet je větší než $10$."
D2: "Číslice na pozici stovek není největší ani nejmenší ze všech číslic."

Dokážete určit, které číslo bylo zapsáno na papíru?

Řešení

Samozřejmě nemůžeme procházet všechna čísla a postupně ověřovat, zda vyhovují nebo ne. Je třeba zkoumat výroky čtyř kamarádů. Číslo $23$ je prvočíslo, muselo by být jednou z číslic, což je samozřejmě nesmysl. Proto je výrok A1 pravdivý. Hledáme tedy trojciferné číslo.

Výrok B2 prozkoumáme v souvislosti s výroky C1, C2. Výroky B2 a C2 samozřejmě nemohou platit současně, protože pak by se hledané trojciferné číslo skládalo ze tří nul. Výroky B2 a C1 nemohou platit současně, protože žádné z čísel $111$, $222$, ..., $999$ není dělitelé $11$. Výrok B2 je proto nepravdivý a platí B1. Hledané číslo je tedy trojciferné a dělitelné $37$.

Platí-li výrok C1, přicházejí v úvahu jen čísla $37\cdot11=407$ a $37\cdot11\cdot2=814$. Platí-li výrok C2, přicházejí v úvahu jen čísla $370$ a $740$. Zbývá, abychom u nich ověřili platnost výroků D1, D2. Připomeňme, že právě jeden z nich je pravdivý. Je-li D1 pravdivý a D2 nepravdivý, vyhovují čísla $740$ a $814$. Je-li D1 nepravdivý a D2 pravdivý, vyhovuje pouze $370$.

Podmínkám úlohy tedy vyhovují celkem tři čísla: $370$, $740$ a $814$. Určit, které z nich kamarádi napsali na papír, nelze.