Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Cesta z nádraží

Paní Nováková dojíždí vlakem do práce. Při cestě domů přijíždí pravidelně v 17:00 hodin. Pan Novák, který je již v důchodu, pro ni jezdí autem na nádraží a přijíždí tam přesně v 17:00. Jednou se stalo, že paní Nováková přijela vlakem o hodinu dřív. Panu Novákovi se nedovolala, bylo pěkné počasí, a tak vyrazila k domovu pěšky. Po cestě potkala pana Nováka, který jel jako obvykle pro ni nádraží, přisedla k němu do auta a domů dorazili o 20 minut dřív než obvykle. Při jiné takové příležitosti se situace opakovala s tím rozdílem, že na nádraží přijela v 16:30. O kolik minut dříve než obvykle dorazili domů tentokrát za předpokladu, že pan Novák jezdí na nádraží a zpět pokaždé stejnou cestou a stejnou rychlostí a paní Nováková chodí také pokaždé stejnou rychlostí?

Řešení

V prvním případě pan Novák strávil na cestě autem o 20 minut méně než obvykle. Paní Novákovou tedy potkal v místě, které je 10 minut jízdy od nádraží, a to v 16:50. To znamená, že paní Nováková šla pěšky 50 minut a ušla vzdálenost, kterou by pan Novák ujel za 10 minut. Pan Novák tedy jede autem pětkrát vyšší rychlostí než paní Nováková chodí pěšky. Označme $5t$ minut dobu, po kterou paní Nováková šla pěšky ve druhém případě. Vzdálenost, kterou ušla do setkání s panem Novákem, by pan Novák ujel za $t$ minut. Setkali se tedy $60-t$ minut po 16. hodině. Protože vlak tentokrát přijel v 16:30 a paní Nováková šla pěšky $5t$ minut, potkali se $30+5t$ minut po 16. hodině. Musí platit $60-t=30+5t$, tj. $t=5$. Z toho plyne, že pan Novák ušetřil na cestě na nádraží 5 minut, stejnou dobu na cestu zpět, takže domů dorazili o 10 minut dříve než obvykle.

Úlohu lze řešit i pomocí grafikonu, grafické formy jízdního řádu, která se používá při plánování drážní nebo linkové dopravy a tvorbě jízdních řádů.

Na obrázku je znázorněn pohyb pana Nováka a paní Novákové mezi domovem a nádražím v čase. Na svislé ose je vzdálenost od nádraží, na vodorovné ose čas. Za normálních okolností (zelená čára) pan Novák čeká určitou dobu po 16. hodině doma a pak jede na nádraží (tenčí zelená čára). V 17 hodin přijede na nádraží, naloží paní Novákovou a spolu jedou domů (silnější zelená čára). Protože pan Novák jezdí stále stejnou rychlostí, jsou jednotlivé části čáry přímkové. V případě, kdy paní Nováková přijela v 16 hodin, vyrazila pěšky k domovu (tenčí modrá čára), zatímco pan Novák čeká jako obvykle doma, než vyrazí na nádraží, aby tam byl v 17 hodin. Po cestě potká paní Novákovou a domů pak jedou spolu (silnější modrá čára). Podobně je znázorněna situace, kdy paní Nováková přijela v 16:30 (červená čára). Protože paní Nováková chodí vždy stejnou rychlostí, tenčí červená čára je rovnoběžná s tenčí modrou čárou. Protože pan Novák jezdí stále stejnou rychlostí, jsou všechny tři silnější čáry také rovnoběžné. A protože bod 16:30 je na časové ose uprostřed mezi body 16:00 a 17:00, z uvedené rovnoběžnosti čar vyplývá, že konec silnější červené čáry je uprostřed mezi konci silnější modré a zelené čáry, takže $x=10$.