Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Která ze třinácti mincí je falešná?

Už jsme tu řešili několik úloh na hledání falešných mincí, např. tuto. Přestože tam byl počet mincí větší, úloha byla významně snazší, protože jsme navíc věděli, že hledáme minci, která lehčí než ostatní. Falešné mince však mohou být i trochu těžší než ty pravé. V této úloze jde o to třemi váženími na dvojramenných vahách najít mezi 13 mincemi jednu, která se od ostatních nepatrně liší svou hmotností. Mincí je tedy méně, ale chybí informace, zda je falešná mince lehčí nebo těžší.

Řešení

Abychom se v tom lépe vyznali, označíme mince písmeny A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M. Nejprve dáme na levou misku čtyři mince A, B, C, D a na pravou čtyři mince E, F, G, H. Mohou nastat tři případy.

1. Misky vah jsou v rovnováze.

Pak všechny mince na váze jsou pravé a falešná mince je jedna z pěti zbývajících. Ve druhém vážení porovnáme mince I, J, K s pravými mincemi A, B, C. Mohou nastat tři případy.

1a. Misky vah jsou v rovnováze.

Falešná je tedy buď mince L nebo mince M. Která to je, zjistíme porovnáním mince L s mincí A ve třetím vážení.

1a. Levá miska je níž než pravá.

Falešná mince je tedy na váze, a protože už víme, že mince A, B, C jsou pravé, je to některá z mincí I, J, K. Z posledního vážení navíc víme, že falešná mince je lehčí. Ve třetím vážení porovnáme mince I a J. Jsou-li stejné, falešná je K. Nejsou-li stejné, falešná je ta lehčí.

1c. Je-li levá miska výš než pravá, postupujeme stejně jako v případě 1.2.

2. Mince A, B, C, D jsou těžší než mince E, F, G, H.

Zbývající mince I, J, K, L, M jsou tedy pravé. Z každé misky odebereme po jedné minci (např. D, H), z levé misky jednu minci přemístíme na pravou misku (např. C), dvě mince z pravé misky (např. E, F) přemístíme na levou misku a pravou misku doplníme dvěma pravými mincemi (např. L, M). Opět mohou nastat tři případy.

2a. Misky vah jsou v rovnováze.

Pak mince na váze jsou pravé a falešná je jedna z mincí D, H. Která to je, zjistíme porovnáním mince D s mincí A ve třetím vážení.

2b. Levá miska je níž než pravá.

Po přemístění mincí C, E, F a doplnění pravých mincí L, M zůstala levá miska níž. Falešná mince je tedy mezi A, B a G. Ve třetím vážení porovnáme mince A a B. Budou-li misky v rovnováze, falešná je mince G. V opačném případě je falešná ta lehčí z mincí A, B.

2c. Je-li levá miska výš než pravá, postupujeme ve druhém vážení stejně jako v případě 2b a pak obdobně ve třetím vážení.

3. Postup v případě, že v prvním vážení jsou mince A, B, C, D lehčí než mince E, F, G, H, je obdobný jako v případě 2.