Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Příliš složitý výpočet?
Některé úlohy z praxe převedené do matematického jazyka vedou na poslouponosti $\{a_n\}$, $n=1,2,\dots$, definované rekurentně tak, že je určena hodnota prvního členu $a_1$ a další členy jsou definovány vzorcem $a_n=f(a_{n-1})$, kde $f$ je daná funkce. Prozkoumejme takovou posloupnost, kde $a_1=3$ a funkce $f$ je dána předpisem $f(x)={x+1\over x-1}$. Dokážete najít hodnoty $a_n$ pro $n=6,100,501$?
Řešení
Vypočítat postupně $a_2$ $a_3$, $a_4$, $a_5$, $a_6$ se nezdá jako nezvládnutelný úkol, ale vypočítávat postupně všechny členy až po $a_{100}$ či dokonce po $a_{501}$ vypadá na první pohled jako podezřelý úkol. Bude lepší se na to podívat obecně. Pro druhý člen posloupnosti platí $a_2={a_1+1\over a_1-1}$. Třetí člen má tvar $a_3={a_2+1\over a_2-1}$, a protože $a_2+1={a_1+1\over a_1-1}+1={a_1+1+a_1-1\over a_1-1}={2a_1\over a_1-1}$ a $a_2-1={a_1+1\over a_1-1}-1={a_1+1-a_1+1\over a_1-1}={2\over a_1-1}$, máme $a_3={2a_1\over2}=a_1$. Ihned vidíme, že $a_4={a_1+1\over a_1-1}$, $a_5=a_1$, a obecně $a_{2k}={a_1+1\over a_1-1}$, $a_{2k+1}=a_1$ pro $k=1,2,\dots$ Je tedy $a_6=a_{100}={a_1+1\over a_1-1}={4\over2}=2$ a $a_{501}=a_1=3$.