Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Podivný paradox
Tři vězni, Krátký, Levý a Malý se dohodli, že požádají o předčasné ukončení trestu. Všichni tři byli odsouzeni za lehké přečiny a všichni se chovali ve vězení dobře, takže všichni tři mají stejnou šanci, že jejich žádosti bude vyhověno. Dozorce vězňům řekl, že soud rozhodl o propuštění dvou z nich, ale pokud by se ho některý z vězňů zeptal, zda bude propuštěn právě on, nesmí mu odpovědět. Vězeň Krátký zvažuje, že by se mohl zeptat, který z ostatních dvou bude propuštěn. Dochází však k paradoxnímu závěru, že by se tak o sobě mohl dozvědět ještě méně, než když se ptát nebude. Uvažuje totiž následujícím způsobem. Pravděpodobnost, že bude propuštěn, je $2\over3$, protože jsou tři možnosti – propuštěni budou buď Krátký a Levý, nebo Krátký a Malý, nebo Levý a Malý. Dva ze tří případů jsou pro něj příznivé. Když mu však dozorce řekne, že bude propuštěn Levý, pak jsou dvě možnosti: propuštěn bude Levý a Krátký, nebo Levý a Malý. Pro Krátkého je zde příznivá jedna ze dvou možností, každá s pravděpodobností $1\over2$, což je méně než $2\over3$. To je však podivné. Je možné, aby se Krátkého vyhlídky po získání doplňující informace zhoršily?
Řešení
Vězeň Krátký udělal ve své úvaze obvyklou chybu, protože špatně vyhodnotil množinu existujících možností (v teorii pravděpodobnosti nazývaný jako prostor elementárních jevů). Podívejme se pořádně na to, jaké mohou nastat možnosti:
1. Propuštěni budou Krátký a Levý, dozorce odpoví, že propuštěn bude Levý.
2. Propuštěni budou Krátký a Malý, dozorce odpoví, že propuštěn bude Malý.
3. Propuštěni budou Levý a Malý, dozorce odpoví, že propuštěn bude Levý.
4. Propuštěni budou Levý a Malý, dozorce odpoví, že propuštěn bude Malý.
(Více možností není, protože dozorce nesmí Krátkému řici, zda bude propuštěn právě on.) Pravd2podobnost prvního případu je rovna pravděpodobnosti toho, že budou propuštěni Krátký a Levý, tj. $1\over3$. Obdobně je stejná pravděpodpobnost ve druhém případě. Pravděpodobnost toho, že budou propuštěni Levý a Malý, je $1\over3$, pravděpodobnost každého z případů (3) a (4) je tedy ${1\over3}\cdot{1\over2}={1\over6}$. Případy, kdy dozorce odpověděl, že propuštěn bude Levý, jsou dva: (1) a (3). Pro Krátkého příznivý je jen případ (1) a jeho pravděpodobnost je tedy rovna ${{1\over3}\over{{1\over3}+{1\over6}}}={2\over3}$, tj. stejný výsledek, jako když se Krátký na nic nezeptá. K žádnému podivnému paradoxu zde nedochází.