Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Trik se třemi kartami

Představte si, že vás někdo vyzve, abyste si s ním zahráli následující hru. Ukáže vám tři speciální dvoustranné karty. Jedna má na obou stranách pik, druhá má na jedné straně pik a na druhé káro, třetí má na obou stranách káro:

Pak ty karty zamíchá v klobouku a požádá, abyste jednu kartu vytáhli a položili ji na stůl tak, aby nikdo z vás neviděl její druhou stranu. Pak vám nabídne sázku, že na druhé straně je stejná barva. Aby podpořil vaši chuť si vsadit, předloží úvahu, že ta karta nemůže mít piky na obou stranách, takže je to buď karta s pikem a kárem nebo se dvěma káry. Jedna z nich má na rubu pik, druhá káro, takže šance jsou vyrovnané. Vsadíte si?

Řešení

Člověk by si měl dobře rozmyslet, než se nechá svést zkušeným hráčem k sázce. Takový hráč zpravidla ví, že jeho šance na výhru je větší než vaše. Úvaha, kterou vám předloží hráč, se intuitivně zdá logická, ale ve skutečnosti je nesprávná. Trik je v tom, že existují tři stejně pravděpodobné možnosti, ne jen dvě (abychom znázornili, že možnosti káro-káro jsou skutečně dvě, označili jsme jednu stranu této karty tečkou):

Vysvětlit se to dá i jiným způsobem: Na začátku jsou v klobouku dvě karty, které mají stejnou barvu na obou stranách. Pravděpodobnost toho, že vytáhnete takovou kartu, je tedy 2/3.

Nyní je vidět, že vaše šance na výhru není 1/2, ale pouze 1/3. "Kouzelník" se pouští do této hry, protože ví, že jeho šance na výhru je 2/3, a tedy v dlouhé řadě takových her s velkou pravděpodobností vydělá.

Tuto hru navrhl významný americký matematik Warren Weawer v článku Probability otištěném v r. 1950 v časopisu Scientific American.