Processing math: 100%

Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Arbelos

V úloze o Archimedových kruhových dvojčatech jsme již uvedli, že vybarvenému obrazci na obrázku se říká arbelos.

Název pochází z řečtiny, kde arbylos označuje ševcovský nůž (viz https://en.wikipedia.org/wiki/Arbelos#/media/File:Arbelos_Shoemakers_Knife.jpg).
Arbelos má jako geometrický útvar řadu pozoruhodných vlastnéstí a souvislostí. Umíte ukázat, že plošný obsah arbelu je roven obsahu kruhu ohraničeného červenou kružnicí na obrázku?

Řešení

Označme poloměry kružnic k1, k2, k3, k po řadě r1=|CD|2, r2=|CA|2, r3=|AD|2, r=|AB|2. Podle Eukleidovy věty o výšce pravoúhlého trojúhelníku platí |AB|2=|CA||AD|, tj. r2=r22r23. (Pokud si tuto větu nepamatujete ze školy, můžete si ten vtah snadno odvodit z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků CAB a BAD.) Obsah arbelu P je roven rozdílu obsahu půlkruhu o poloměru r1 a obsahů půlkruhů o poloměrech r2 a r3, tj. P=π2r21π2r22π2r23=π2[(r2+r3)2r22r23]=πr2r3=πr2.

Tvrzení je názorně vidět, když si uvědomíme, že obsah kruhu je přímo úměrný druhé mocnině poloměru a že tedy Pythagorovu větu lze zobecnit i tak, že místo čtverců nad přeponou a odvěsnami budeme uvažovat půlkruhy. Překlopíme půlkruh podle průměru a do dolního půlkruhu překlopíme i červený kruh.

Bílý trojúhelník na následujících obrázcích je pravoúhlý (Thaletova věta).

Pro obsahy půlkruhů tedy podle zobecněné Pythagorovy věty platí P2=P3+P4, P3=P5+P6 a P9=P7+P8, takže P=P2P5P7=P3+P4+P6P3+P6P4=2P6=P1.