Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Arbelos
V úloze o Archimedových kruhových dvojčatech jsme již uvedli, že vybarvenému obrazci na obrázku se říká arbelos.
Název pochází z řečtiny, kde arbylos označuje ševcovský nůž (viz
https://en.wikipedia.org/wiki/Arbelos#/media/File:Arbelos_Shoemakers_Knife.jpg).
Arbelos má jako geometrický útvar řadu pozoruhodných vlastnéstí a souvislostí. Umíte ukázat, že plošný obsah arbelu je roven obsahu kruhu ohraničeného červenou kružnicí na obrázku?
Řešení
Označme poloměry kružnic
k1,
k2,
k3,
k po řadě
r1=|CD|2,
r2=|CA|2,
r3=|AD|2,
r=|AB|2. Podle Eukleidovy věty o výšce pravoúhlého trojúhelníku platí
|AB|2=|CA|⋅|AD|, tj.
r2=r22⋅r23. (Pokud si tuto větu nepamatujete ze školy, můžete si ten vtah snadno odvodit z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků
CAB a
BAD.) Obsah arbelu
P je roven rozdílu obsahu půlkruhu o poloměru
r1 a obsahů půlkruhů o poloměrech
r2 a
r3, tj.
P=π2r21−π2r22−π2r23=π2[(r2+r3)2−r22−r23]=πr2r3=πr2.
Tvrzení je názorně vidět, když si uvědomíme, že obsah kruhu je přímo úměrný druhé mocnině poloměru a že tedy Pythagorovu větu lze zobecnit i tak, že místo čtverců nad přeponou a odvěsnami budeme uvažovat půlkruhy. Překlopíme půlkruh podle průměru a do dolního půlkruhu překlopíme i červený kruh.
Bílý trojúhelník na následujících obrázcích je pravoúhlý (Thaletova věta).
Pro obsahy půlkruhů tedy podle zobecněné Pythagorovy věty platí
P2=P3+P4,
P3=P5+P6 a
P9=P7+P8, takže
P=P2−P5−P7=P3+P4+P6−P3+P6−P4=2P6=P1.