Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Kolik je třem dětem let?

Dva matematici, kteří přijeli na konferenci, se po letech potkají na chodbě hotelu a dají se do hovoru.
Karel: "Dlouho jsme se neviděli. Víš, že mám tři děti?"
Pierre: "To je pěkné. Kolik jim je let?"
Karel: „No, to snadno zjistíš. Součin jejich věku je 36 a součet jejich věku je stejný jako číslo tohoto patra."
Pierre po krátkém zamyšlení: "Tato informace mi nestačí."
Karel: "Máš pravdu. Nejstarší dítě je syn."
Pierre: "Aha, tak teď už vím, kolik jim je let."
Jak staré jsou Karlovy děti?

Řešení

Mohlo by se zdát, že Pierre nemá dost informací a že informace o pohlaví nejstaršího dítěte nemá s výpočtem nic společného. Vycházíme z toho, že věk dětí lidé obvykle vyjádřují celými čísly. Existuje 8 různých způsobů, jak získat 36 ze součinu tří kladných celých čísel. To snadno zjistíme, když rozložíme číslo 36 na celočíselné součinitele: $36=1\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3$. Existuje tedy celkem 8 možných součinů:

$1\cdot1\cdot36 = 36$; součet součinitelů: 38
$1\cdot2\cdot18 = 36$; součet součinitelů: 21
$1\cdot3\cdot12 = 36$; součet součinitelů: 16
$1\cdot4\cdot9 = 36$; součet součinitelů: 14
$1\cdot6\cdot6 = 36$; součet součinitelů: 13
$2\cdot2\cdot9 = 36$; součet součinitelů: 13
$2\cdot3\cdot6 = 36$; součet součinitelů: 11
$3\cdot3\cdot4 = 36$; součet součinitelů: 10

Pierre samozřejmě ví, v kterém patře jsou. Přesto říká, že mu ta informace k určení věku Karlových dětí nestačí. To znamená, že pro dané číslo patra existuje více než jedno možné řešení. Číslo patra, a tedy součet součinitelů musí být 13. V každém z ostatních případů je rozklad na součinitele jednoznačný. V dodatečné informaci není důležité, jde o syna, ale že je to nejstarší dítě. Věk dětí tedy nemůže být 1, 6, 6, takže zbývá jediná možnost 2, 2, 9.

Z pohledu matematiky vtip této hádanky spočívá v tom nalézt kladné celé číslo $n$ s těmito vlastnostmi:

• Když číslo $n$ rozložíme všemi možnými způsoby na součin tří celých kladných čísel a ke každému rozkladu vypočítáme součet součinitelů, pak se některý z těchto součtů vyskytuje víc než jednou.
• Pouze v jednom z rozkladů odpovídajících tomuto součtu, je jeden součinitel větší než ostatní dva.

Číslo 36 je nejmenší z čísel s těmito vlastnostmi. Další čísla splňující tyto podmínky jsou 72 a 225:

$2\cdot6\cdot6 = 72$; součet součinitelů: 14
$3\cdot3\cdot8 = 72$; součet součinitelů: 14
$1\cdot15\cdot15 = 225$; součet součinitelů: 31
$3\cdot3\cdot25 = 225$; součet součinitelů: 31 <\p> Tak jako u čísla 36 i zde existují dva různé rozklady se stejným součtem součinitelů, přičemž jediný z rozkladů obsahuje největší součinitel.