Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Jak sečíst 999 zlomků?
Určitá míra lenosti je užitečná. Než se pustíme do na první pohled úmorného počítání, je dobré se napřed zamyslet. O brzké genialitě jednoho z největších matematiků Carla Friedricha Gausse se traduje, jak jeho učitel chtěl na chvíli zabavit žáky a dal jim sečíst přirozená čísla od jedné do sta. Mladý Gauss ho překvapil téměř okamžitou odpovědí. Místo mechanického sčítání dlouhé řady čísel si uvědomil, že když čísla seřadí do sloupce a napíše vedle nich čísla v opačném pořadí, bude součet v každém řádku 101, a tedy součet čísel v jednom sloupci bude $101\cdot100\cdot{1\over2}=5050$. Přijdete na to, jak rychle sečíst řadu zlomků ${1\over1\cdot2}+{1\over2\cdot3}+{1\over3\cdot4}+\dots+{1\over998\cdot999}+{1\over999\cdot1000}$?
Řešení
Postupně sčítat 999 zlomků se jistě nikomu nechce. Je třeba najít vhodný trik. Kdo umí dobře počítat se zlomky, snadno si všimne, že platí ${1\over1}-{1\over2}={1\over1\cdot2}$, ${1\over2}-{1\over3}={1\over2\cdot3}$, obecně ${1\over n}-{1\over n+1}={1\over n(n+1)}$. Pak už je vidět, že uvedenou řadu zlomků lze rozepsat ve tvaru ${1\over1}-{1\over2}+{1\over2}-{1\over3}+{1\over3}-{1\over4}+\dots+{1\over998}-{1\over999}+{1\over999}-{1\over1000}=1-{1\over1000}={999\over1000}$.