Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Dvě kružnice vepsané do lichoběžníku

Do lichoběžníku $ABCD$, který má tu vlastnost, že součet délek základen $a$, $c$ je větší než součet délek ramen $b$, $d$, jsou vepsány dvě kružnice $k_1$, $k_2$.

Dokažte, že se kružnice vzájemně dotýkají, jestliže pro výšku lichoběžníku platí $h={1\over2}(a+c-b-d)$.

Řešení

Body dotyku kružnic $k_1$, $k_2$ se stranami lichoběžníku označíme $K$, $L$, $M$ a $P$, $Q$, $R$.

Pak platí $|AK|=|AL|$, $|BR|=|BQ|$, $|CP|=|CQ|$ a $|DL|=|DM|$. Z těchto rovností a z předpokladu $a+c>b+d$ dostáváme $|AK|+|RB|+|BQ|+|QC|+|CP|+|MD|+|DL|+|LA|=2(b+d)< a+b+c+d$ a z toho vyplývá, že bod $K$ leží mezi body $A$ a $R$ a bod $M$ leží mezi body $D$ a $P$. Kružnice $k_1$, $k_2$ se dotýkají právě tehdy, když se vzdálenost jejích středů rovná výšce $h$ lichoběžníku. Zároveň platí $|S_1S_2|=|MP|=|KR|$, takže $2(b+d)+2|S_1S_2|=a+b+c+d$. Z toho plyne $|S_1S_2|={1\over2}(a+c-b-d)$. Je-li tedy $h={1\over2}(a+c-b-d)$, pak $|S_1S_2|=h$ a obě kružnice se dotýkají, což jsme měli dokázat.
Úloha byla zařazena do přípravného kola 28. ročníku Matematické olympiády v kategorii C pro žáky středních škol.