Matematika pro poučení i pro zábavu

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Mnohoúhelník složený z trojúhelníků

Rozdělit jakýkoli konvexní mnohoúhelník na trojúhelníky je velmi jednoduché. Budeme-li však chtít, aby všechny takto vzniklé trojúhelníky byly podobné, u každého kovexního mnohoúhelníku se nám to zřejmě nepodaří. Trochu to tedy zjednodušíme. Zkuste najít největší přirozené číslo $n$ takové, že existuje konvexní $n$-úhelník, který lze rozložit na pravoúhlé trojúhelníky s dvěma vnitřními úhly velikostí $30^\circ$ a $60^\circ$. (Trojúhelníky samozřejmě nemusejí být stejně velké.)
Úloha byla zařazena do prvního kola 33. ročníku Matematické olympiády v kategorii A pro studenty středních škol.

Řešení

Uvažujme konvexní $n$-úhelník, který lze rozložit na pravoúhlé trojúhelníky s dvěma vnitřními úhly velikostí $30^\circ$ a $60^\circ$. Každý z jeho vnitřních úhlů je složen z nějaké kombinace nepřekrývajících se úhlů o velikostech $30^\circ$, $60^\circ$ a $90^\circ$ a jeho velikost je tedy celočíselným násobkem $30^\circ$. Protože $n$-úhelník je konvexní, vnitřní úhel musí být menší než $180^\circ$, nemůže být tedy větší než $150^\circ$. Součet vnitřních úhlů tedy nemůže být větší než $n\cdot150^\circ$. Obecně platí, že součet vnitřních úhlů konvexního $n$-úhelníku se rovná $(n-2)\cdot180^\circ$. Dostáváme tak nerovnici $(n-2)\cdot180\le 150n$, jejímž řešením je $n\le12$. Je však ještě třeba ověřit, zda takový dvanáctiúhelník skutečně existuje. Snadno zjistíme, že ano. Např. tento: