Processing math: 100%

Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Kde udělal Karel chybu?

Karel se v hodině matematiky přihlásil s tím, že v matematice objevil zásadní problém. Vyšlo mu, že 1=1. Předvedl následující postup: 1=111=1111=1111=111=1

Řešení

Chyba je v tom, že Karel s uvedenými výrazy zacházel, jako by šlo o reálná čísla. Uvedené výrazy v oboru reálných čísel nemají smysl. Číslo x=1 je kořenem rovnice x21=0, která má dvě řešení v oboru komplexních čísel: x1=i, x2=i, kde i je imaginární jednotka. S výrazem 1 tedy nelze zacházet, jako by to bylo jednoznačně určené číslo. Kdyby Karel první rovnici interpretoval rovnou jako i=i, pak by se k druhé rovnosti vůbec nedostal a nemohl by odvodit druhou ani třetí rovnost. Při přechodu od druhé ke třetí rovnosti totiž nelze jednoduše napsat, že 11=1i, protože máme na výběr ještě možnost 11=1i. Ta užž by ke zdánlivému sporu nevedla, protože platí i(i)=1.