Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Kde udělal Karel chybu?
Karel se v hodině matematiky přihlásil s tím, že v matematice objevil zásadní problém. Vyšlo mu, že
1=−1. Předvedl následující postup:
√−1=√−1√1−1=√−11√1√−1=√−1√1√1⋅√1=√−1⋅√−11=−1
Řešení
Chyba je v tom, že Karel s uvedenými výrazy zacházel, jako by šlo o reálná čísla. Uvedené výrazy v oboru reálných čísel nemají smysl. Číslo
x=√−1 je kořenem rovnice
x2−1=0, která má dvě řešení v oboru komplexních čísel:
x1=i,
x2=−i, kde i je imaginární jednotka. S výrazem
√−1 tedy nelze zacházet, jako by to bylo jednoznačně určené číslo. Kdyby Karel první rovnici interpretoval rovnou jako
i=i, pak by se k druhé rovnosti vůbec nedostal a nemohl by odvodit druhou ani třetí rovnost. Při přechodu od druhé ke třetí rovnosti totiž nelze jednoduše napsat, že
√1√−1=1i, protože máme na výběr ještě možnost
√1√−1=1−i. Ta užž by ke zdánlivému sporu nevedla, protože platí
i⋅(−i)=1.