Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943
Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006
Úlohy pro zábavu i pro poučení
Kde udělal Karel chybu?
Karel se v hodině matematiky přihlásil s tím, že v matematice objevil zásadní problém. Vyšlo mu, že $1=-1$. Předvedl následující postup:
$$\eqalign{\sqrt{-1}&=\sqrt{-1}\cr
\sqrt{1\over -1}&=\sqrt{-1\over1}\cr
{\sqrt1\over\sqrt{-1}}&={\sqrt{-1}\over\sqrt1}\cr
\sqrt1\cdot\sqrt1&=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}\cr
1&=-1}$$
Řešení
Chyba je v tom, že Karel s uvedenými výrazy zacházel, jako by šlo o reálná čísla. Uvedené výrazy v oboru reálných čísel nemají smysl. Číslo $x=\sqrt{-1}$ je kořenem rovnice $x^2-1=0$, která má dvě řešení v oboru komplexních čísel: $x_1={\rm i}$, $x_2=-{\rm i}$, kde i je imaginární jednotka. S výrazem $\sqrt{-1}$ tedy nelze zacházet, jako by to bylo jednoznačně určené číslo. Kdyby Karel první rovnici interpretoval rovnou jako ${\rm i}={\rm i}$, pak by se k druhé rovnosti vůbec nedostal a nemohl by odvodit druhou ani třetí rovnost. Při přechodu od druhé ke třetí rovnosti totiž nelze jednoduše napsat, že ${\sqrt1\over\sqrt{-1}}={1\over\rm i}$, protože máme na výběr ještě možnost ${\sqrt1\over\sqrt{-1}}={1\over-\rm i}$. Ta užž by ke zdánlivému sporu nevedla, protože platí ${\rm i}\cdot (-{\rm i})=1$.