Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Rozměry kašny

Kašna má tvar půkruhu přiléhajícího ke stěně, v jehož středu je půlkulatý sokl se sochou. Potřebujeme zjistit velikost kašny. Tomu, abychom změřili její poloměr, však překáží sokl uprostřed. Šikovný geometr si pomůže. Vyznačí si na stěně bod (bod $B$ na obrázku) ve výšce okraje kašny a ve vzdálenosti 50 cm od okraje kašny (bod $A$ na obrázku) a na okraji kašny vyznačí bod na kolmici ke stěně vedené z bodu $B$ (bod $C$ na obrázku). Změří, že zvdálenost mezi body $B$ a $C$ je 150 cm a z toho vypočítá poloměr. Jak velký je poloměr kašny?

Řešení

Označme druhý konec kašny $D$.

Podle Thaletovy věty je trojúhelník $ADC$ pravoúhlý. Trojúhelníky $ABC$ a $CBD$ jsou také pravoúhlé a navíc jsou podobné, protože mají shodné vnitřní úhly. Proto je poměr délek odvěsen v obou trojúhelnících stejný: ${|BD|\over|BC|}={|BC|\over|AB|={150\over50}=3}. Z toho plyne $|BD|=450$ cm. Poloměr kašny je ${{|AD|\over2}={|AB|+|BD|\over2}=250} cm.