Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Prádelní šňůry

Na dvoře jsou čtyři kůly pro sušení prádla uspořádané do čtverce. Děti si hrály s prádelní šňůrou, natáhly ji od tří kůlů doprostřed a svázaly tak, jak je na obrázku vyznačeno modrými čarami. Tři úseky šňůry od kůlů k uzlu uprostřed jsou dlouhé $a$, $b$, $c$.
Jak dlouhá bude šňůra od uzlu ke čtvrtému kůlu (na obrázky vyznačeno červeně)?

Řešení

Spustíme kolmice od uzlu ke stranám čterce.
Na obrázku je několik pravoúhlých trojúhelníků, pro které z Pythagorovy věty plyne: $d^2=v^2+s^2$, $v^2=c^2-t^2$ a $u^2=b^2-t^2=a^2-s^2$. Z poslední rovnosti plyne $s^2=a^2-b^2+t^2$. Dosadíme-li do prvního vztahu za $v^2$ a $s^2$, dostaneme $d^2=v^2-s^2=c^2-t^2+a^2-b^2+t^2=a^2+c^2-b^2$.