Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrné kalendáře Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Z nepřeberného množství matematických úloh, které pobaví, poučí a někdy i překvapí nečekaným pohledem na realitu, každý týden vybíráme tři – často jednoduché, někdy zapeklité.

Kde udělal Karel chybu?

Karel se v hodině matematiky přihlásil s tím, že v matematice objevil zásadní problém. Vyšlo mu, že $1=-1$. Předvedl následující postup: $$\eqalign{\sqrt{-1}&=\sqrt{-1}\cr \sqrt{1\over -1}&=\sqrt{-1\over1}\cr {\sqrt1\over\sqrt{-1}}&={\sqrt{-1}\over\sqrt1}\cr \sqrt1\cdot\sqrt1&=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}\cr 1&=-1}$$

Řešení

Deset mincí

Máte deset mincí a víte, že aspoň jedna z nich je pravá. Některé z nich jsou však možná i falešné. Navíc víte, že všechny pravé mince váží stejně a všechny falešné mince váží stejně, jen nevíte, jestli jsou lehčí nebo težší než ty pravé. Máte také obyčejnou dvouramennou váhu. Vaším úkolem je co nejmenším počtem vážení zjistit, jestli jsou všechny mince pravé, nebo jestli mezi nimi je nějaká falešná.

Snadno se to provede čtyřmi váženími: Porovnáme první dvě mince. Pokud jsou stejné, dáme obě mince na jednu misku a na druhou misku dáme další dvě. Jsou-li opět všechny stejné, dáme na jednu misku čtyři dosud zvážené mince a na druhou další čtyři mince. Jsou-li opět všechny stejné, porovnáme zbývající dvě mince se dvěma zváženými.

Existuje způsob, jak to provést jen třemi váženími?

Řešení

Paradoxní skládačka podruhé

V jedné z předchozích úloh jsme předvedli čtverec 8x8, který byl po rozřezání na čtyři na dva lichoběžníky a dva trojúhelníky složen do tvaru obdélníku 13x5, který má o jeden čtvereček větší obsah než původní čtverec. Nyní máme obrácenou situaci. Na obrázku vlevo je čtverec 13x13, který má obsah 139 čtverečků. Po rozřezání podle vyznačených čar jsou dva trojúhelníky a dva lichoběžníky na obrázku vpravo složeny do tvaru obdélníku 21x8 o obsahu 168 čtverečků. Tentokrát se nám jeden čtvereček ztratil.

Jistě přijdete na to, kde je. Dokážete sestavit další úlohy tohoto typu?

Řešení

Archiv úloh z předchozích týdnů