Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Paradoxní skládačka potřetí

Tohle je další varianta zdánlivě paradoxního rozkladu a složení obrazce. Obdélník vlevo obsahuje $8\cdot13=104$ čtverečků.

Poté, co jsme ho rozřízli na čtyři části podle naznačených čar a opět složili tak jako na pravém obrázku, dostali jsme obdélník o obsahu $5\cdot21=105$ čtverečků. Pokud jste si poradili s dřívějšími úlohami Paradoxní skládačka a Paradoxní skládačka podruhé, pak pro vás nebude problém zjistit, v čem spočívá trik. Asi si pak také všimnete, že rozměry obdélníků a trojúhelníků opět tvoří po sobě jdoucí členy Fibonacciho posloupnosti: $2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21$ (viz komentář v řešení úlohy Paradoxní skládačka podruhé).

Řešení

Trik spočívá v tom, že silné čáry v zadání úlohy zakrývají skutečnost, že trojúhelníky a lichoběžníky sestavené do obdélníku k sobě nepřiléhají. Při vykreslení tenčími čarami je překryv o obsahu jednoho čtverečku vidět. Z poměrů stran trojúhelníků je také vidět, že řezy oddělující trojúhelníky a lichoběžníky mají rozdílný sklon, takže obrazce vpravo k sobě nemohou přiléhat: $\text{tg}\,\alpha={2\over5}>{3\over8}=\text{tg}\,\beta$.