Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Zajímavé vztahy v trojúhelníku

V ostroúhlém trojúhelníku $ABC$ je přímka $AE$ osou úhlu při vrcholu $A$ a přímka $BD$ je osou úhlu při vrcholu $B$. Bod $P$ je patou kolmice spuštěné z bodu $C$ na přímku $BD$ a bod $Q$ je patou kolmice spuštěné z bodu $C$ na přímku $AE$.

Pak je přímka $PQ$ rovnoběžná s přímkou $AB$. Umíte to dokázat?

Řešení

Úloha je velmi snadná, stačí mít vhodný nápad. Označme $R$ průsečík přímky $CP$ s přímkou $AB$ a $S$ průsečík přímky $CQ$ s přímkou $AB$.

Pravoúhlé trojúhelníky $RBP$ a $CBP$ jsou shodné, protože mají shodné úhly a společnou stranu $BP$. Je tedy $|CP|=|PR|$ a bod $P$ je středem úsečky $CR$. Obdobnou úvahou ověříme, že bod $Q$ je středem úsečky $CS$. Úsečka $PQ$ je tedy střední příčkou trojúhelníku $RSC$ a je proto rovnoběžná s jeho stranou $RS$, a tedy i s přímkou $AB$.