Matematika pro poučení i pro zábavu

Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ty moje jsou ještě větší.
Albert Einstein v dopise středoškolačce Barbaře Lee Wilsonové 7. 1. 1943

Matematika je krásná: Co bylo pravda včera, je pravda i dnes.
Jaroslav Kurzweil při převzetí České hlavy v r. 2006

Popularizační přednášky Zábavné úlohy Trojrozměrný kalendář na rok 2020 Česká digitální matematická knihovna Další odkazy

Úlohy pro zábavu i pro poučení

Jsou v Praze dva lidé se stejným počtem vlasů?

Řešení

Nemusíme počítat vlasy všem Pražanům. Stačí následující úvaha. Je známo, že lidé nemají na hlavé víc než 200 000 vlasů. Pražanů je víc než milion. Představme si, že vybereme Pražana s nejmenším počtem vlasů. Pak vybereme někoho s nejbližším vyšším počtem vlasů a pokračujeme v tom, dokud to jde. Je jasné, že takto nemůžeme vybrat víc než 200 000 lidí. Někdo z těch zbývajících tedy musí mít počet vlasů shodný s některým z těch vybraných.

Úvaha je založena na tzv. Dirichletově principu, kterému se také někdy říká přihrádkový princip nebo princip holubníku. Lze ho formulovat např. takto: jestliže vkládáme nějaké předměty do přihrádek, přičemž předmětů je víc než přihrádek, pak alesopň v jedné přihrádce bude víc než jeden předmět. Tento jednoduchý princip, který se v různých úvahách používal již dávno, je pojmenován po významném německém matematikovi Johannu Peterovi Gustavu Lejeune Dirichletovi (1805–1859), který ho jako první přesně formuloval a využíval k důkazům složitých matematických tvrzení.